Latihan Soal TKA SMP: Relasi dan Fungsi
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan menganalisis konteks masalah yang diberikan secara matematis!
Konteks 1: Tarif Taksi Bandara
Sebuah perusahaan taksi bandara menetapkan tarif dasar (buka pintu) sebesar Rp15.000,00. Selanjutnya, penumpang akan dikenakan biaya tambahan sebesar Rp6.000,00 untuk setiap kilometer perjalanan.
1. (Pilihan Ganda) Jika $x$ mewakili jarak tempuh (dalam kilometer) dan $f(x)$ adalah total biaya perjalanan (dalam rupiah), manakah pemodelan fungsi yang tepat untuk relasi tersebut?
2. (Pilihan Ganda) Pak Budi menggunakan taksi tersebut dari bandara menuju hotelnya sejauh $x = 12$ km. Karena membawa barang bawaan berlebih, ia juga dikenakan konstanta biaya bagasi di luar fungsi argometer sebesar Rp10.000,00. Berapakah total biaya keseluruhan yang harus dibayar?
Konteks 2: Produksi Pabrik Roti
Kapasitas maksimal mesin pembuat roti dalam sekali produksi adalah 20 kg adonan. Secara matematis, jumlah roti yang dihasilkan ($y$) bergantung pada berat adonan ($x$), dengan rumus fungsi $f(x) = 25x - 5$ (dikurangi 5 karena penyusutan/kerusakan awal pemanasan mesin).
3. (Pilihan Ganda Kompleks) Berdasarkan informasi fungsi produksi roti di atas, manakah pernyataan di bawah ini yang benar? (Pilih dua atau lebih jawaban)
Konteks 3: Diskon Ojek Online
Aplikasi Ojol memiliki rumus tarif perjalanan $T(j) = 3000j + 12000$, dengan $j$ merepresentasikan jarak. Terdapat aturan piecewise untuk promo bulan ini: potongan harga sebesar Rp10.000,00 berlaku dengan syarat $j > 8$ km.
4. (Pilihan Ganda Kompleks) Dari pilihan berikut, manakah analisis matematis tarif promo yang tepat? (Pilih dua atau lebih jawaban)
Konteks 4: Ketinggian Drone Udara
Ketinggian drone pada detik ke-$t$ direpresentasikan dengan fungsi kuadrat $h(t) = -2t^2 + 16t$ (dalam satuan meter). Pergerakan dihitung sejak lepas landas hingga drone kembali menyentuh tanah ($h(t) = 0$).
5. (Benar atau Salah) Evaluasi pernyataan-pernyataan berikut berdasarkan fungsi kuadrat $h(t)$ tersebut:
| Pernyataan Matematika | Benar | Salah |
|---|---|---|
| A. $h(3) = 30$ meter. | ||
| B. Penyelesaian dari $h(t) = 0$ adalah $t = 16$ detik. | ||
| C. Domain waktu yang relevan dengan konteks masalah fisik adalah $D_h = \{t \mid 0 \le t \le 8\}$. | ||
| D. Nilai ekstrem (maksimum) dari range fungsi adalah $\max(R_h) = 32$ meter. |
Konteks 5: Suhu di Dataran Tinggi
Suhu di ketinggian 0 mdpl adalah 30°C. Gradien perubahan suhu terhadap ketinggian adalah negatif, di mana setiap kenaikan $100$ meter, suhu ($S$) turun konstan sebesar $0,6$°C.
6. (Benar atau Salah) Evaluasi pernyataan-pernyataan terkait fungsi linear suhu berikut:
| Pernyataan Matematika | Benar | Salah |
|---|---|---|
| A. Jika $k$ merepresentasikan ketinggian (dalam ratusan meter), rumus fungsinya adalah $S(k) = 30 - 0,6k$. | ||
| B. Untuk $k = 15$ (setara 1500 mdpl), nilai fungsinya adalah $S(15) = 21$°C. | ||
| C. Nilai $m = -0,6$ merupakan elemen dari domain fungsi, $D_S$. | ||
| D. Himpunan daerah hasil (Range) mutlak $R_S \subset \mathbb{R}^+$ (hanya bernilai positif). |
Kunci Jawaban & Pembahasan
Klik pada bilah di bawah ini untuk melihat pembahasan masing-masing soal.
Pembahasan Soal 1 & 2 (Konteks 1: Taksi)
Soal 1
Jawaban: BLaju perubahan (gradien) adalah Rp6.000,00 per km ($m = 6000$), dan konstanta awal ($y$-intercept) adalah Rp15.000,00 ($c = 15000$).
Berdasarkan bentuk $f(x) = mx + c$, persamaannya adalah $f(x) = 6000x + 15000$.
Soal 2
Jawaban: BSubstitusi $x = 12$ ke dalam fungsi taksi:
$$f(12) = 6000(12) + 15000 = 72000 + 15000 = 87000$$
$\text{Total Biaya} = f(12) + \text{Biaya Bagasi} = 87000 + 10000 = \text{Rp}97.000,00$.
Pembahasan Soal 3 (Konteks 2: Roti)
- Pernyataan A (Benar): Kapasitas adonan $x > 0$ dan batas maksimalnya $x \le 20$, direpresentasikan sebagai $D_f = \{x \mid 0 < x \le 20\}$.
- Pernyataan B (Salah): Substitusi $x = 4 \implies f(4) = 25(4) - 5 = 100 - 5 = 95$.
- Pernyataan C (Benar): Syarat mutlak fungsi pemetaan, di mana $\forall x \in D_f, \exists ! y \in R_f$ yang berarti tiap 1 input hanya memiliki 1 kemungkinan output.
- Pernyataan D (Benar): Karena gradien positif ($m=25$), nilai maksimum $y$ dicapai saat $x = 20$. $\max(R_f) = f(20) = 25(20) - 5 = 500 - 5 = 495$.
Pembahasan Soal 4 (Konteks 3: Ojol)
- Pernyataan A (Benar): Syarat diskon $j > 8$ tidak terpenuhi untuk $j=5$. Maka $T(5) = 3000(5) + 12000 = 27000$.
- Pernyataan B (Salah): Fungsi diskon $T_{promo}(j) = T(j) - 10000 \implies (3000j + 12000) - 10000 = 3000j + 2000$.
- Pernyataan C (Benar): Karena $10 > 8$, gunakan $T_{promo}$. $T_{promo}(10) = 3000(10) + 2000 = 32000$.
- Pernyataan D (Salah): Frasa "di atas 8 km" berarti $j > 8$, bukan $j \ge 8$. Tepat di $j=8$ belum mendapat diskon.
Pembahasan Soal 5 (Konteks 4: Drone)
- Pernyataan A (Benar): $h(3) = -2(3)^2 + 16(3) = -18 + 48 = 30$.
- Pernyataan B (Salah): Mencari pembuat nol fungsi:
$$-2t^2 + 16t = 0 \implies -2t(t - 8) = 0$$
Akar-akarnya adalah $t = 0$ (lepas landas) dan $t = 8$ (menyentuh tanah), bukan 16. - Pernyataan C (Benar): Batasan fisis $h(t) \ge 0 \implies -2t^2 + 16t \ge 0 \implies 0 \le t \le 8$.
- Pernyataan D (Benar): Absis titik ekstrem fungsi kuadrat $t_p = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2(-2)} = 4$. Substitusi $t=4 \implies h(4) = -2(4)^2 + 16(4) = -32 + 64 = 32$.
Pembahasan Soal 6 (Konteks 5: Suhu)
- Pernyataan A (Benar): Persamaan linear dengan titik potong sumbu-Y di $(0, 30)$ dan gradien $\frac{\Delta S}{\Delta k} = -0,6$ menghasilkan fungsi $S(k) = -0,6k + 30$.
- Pernyataan B (Benar): Untuk 1500 mdpl $\implies k = \frac{1500}{100} = 15$. Evaluasi fungsi: $S(15) = 30 - 0,6(15) = 30 - 9 = 21$.
- Pernyataan C (Salah): Nilai $-0,6$ merupakan Laju Perubahan (gradien/$m$), bukan termasuk batas domain himpunan $D_S$.
- Pernyataan D (Salah): Himpunan range tidak sebatas $\mathbb{R}^+$ (bilangan riil positif). Jika ketinggian $k$ sangat besar, suhu bisa mencapai kuadran negatif (misal $k > 50$, maka $S(k) < 0$).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar