Pada postingan kali ini, kita akan membedah sebuah soal barisan aritmetika yang sangat menarik. Sekilas soal ini terlihat rumit karena melibatkan puluhan suku dan sebuah nilai perbandingan. Tapi tahukah kamu? Ternyata ada trik aljabar rahasia yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikannya dengan sangat cepat tanpa perlu repot-repot mencari suku pertamanya!
Misalkan \(x_1, x_2, x_3, \dots, x_{22}\) adalah barisan aritmetika yang hasil penjumlahan dari semua suku-sukunya adalah \(2024\). Diketahui \(A = x_1 + x_3 + \dots + x_{21}\) dan \(B = x_2 + x_4 + \dots + x_{22}\) dengan \(A : B = 11 : 12\).
Tentukan selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika tersebut.
Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan beberapa konsep dasar dari Barisan Aritmetika dan Perbandingan:
- Beda Barisan (\(b\)): Selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
\(\to b = U_n - U_{n-1}\) (Contoh: \(x_2 - x_1 = b\)) - Rumus Suku ke-\(n\) (\(U_n\)):
\(\to U_n = a + (n-1)b\) - Jarak Antar Dua Suku: Trik cepat mencari selisih dua suku yang berjauhan tanpa tahu suku pertamanya.
\(\to U_x - U_y = (x - y)b\) - Nilai Proporsi:
\(\to \text{Nilai} = \frac{\text{Rasio Ditanya}}{\text{Total Rasio}} \times \text{Total Jumlah}\)
- Suku terbesar adalah suku paling akhir, yaitu \(x_{22}\).
- Suku keempat adalah \(x_4\).
Berdasarkan perhitungan di atas, selisih nilai suku terbesar dan suku keempat dari barisan aritmetika tersebut adalah 144.
Berikut adalah 5 soal tantangan barisan aritmetika edisi spesial 2026. Pastikan kamu sudah menyiapkan alat tulis untuk memecahkan misterinya sebelum mengintip jawaban di bawahnya!
Misalkan $x_1, x_2, \dots, x_{26}$ adalah barisan aritmetika dengan jumlah seluruh sukunya adalah $20260$. Diketahui $A$ adalah jumlah seluruh suku bernomor ganjil dan $B$ adalah jumlah seluruh suku bernomor genap. Jika rasio $A : B = 1000 : 1026$, tentukan selisih nilai suku terakhir dengan suku kedua ($x_{26} - x_2$).
Lihat Penyelesaian Soal 1
Total rasio = $1000 + 1026 = 2026$.
Karena total jumlah suku adalah $20260$, maka:
$$ A = \frac{1000}{2026} \times 20260 = 10000 $$ $$ B = \frac{1026}{2026} \times 20260 = 10260 $$
2. Cari Beda ($b$):
Ada $26$ suku, yang berarti terdapat tepat $13$ pasangan suku ganjil dan genap.
$$ B - A = 13b $$ $$ 10260 - 10000 = 13b $$ $$ 260 = 13b \implies b = 20 $$
3. Cari Jarak Suku:
$$ x_{26} - x_2 = (26 - 2)b = 24b $$ $$ 24 \times 20 = 480 $$
Sebuah barisan aritmetika terdiri dari $40$ suku. Hasil penjumlahan semua sukunya adalah $20260$. Diketahui $P$ adalah jumlah semua suku ganjil dan $Q$ adalah jumlah semua suku genap. Jika $P : Q = 1033 : 993$, tentukan nilai dari $x_{10} - x_{30}$!
Lihat Penyelesaian Soal 2
Total rasio = $1033 + 993 = 2026$.
$$ P = \frac{1033}{2026} \times 20260 = 10330 $$ $$ Q = \frac{993}{2026} \times 20260 = 9930 $$
2. Cari Beda ($b$):
$P$ adalah kelompok suku ganjil dan $Q$ adalah kelompok suku genap. Total $40$ suku berarti ada $20$ pasang.
$$ Q - P = 20b $$ $$ 9930 - 10330 = 20b $$ $$ -400 = 20b \implies b = -20 $$ (Nilai beda negatif menandakan ini adalah barisan yang nilainya terus turun).
3. Cari Jarak Suku:
Perhatikan posisi yang ditanya terbalik (suku kecil dikurangi suku besar)!
$$ x_{10} - x_{30} = (10 - 30)b = -20b $$ $$ -20 \times (-20) = 400 $$
Diketahui sebuah barisan aritmetika memiliki tepat $2026$ suku. Jika selisih antara jumlah seluruh suku genap dan jumlah seluruh suku ganjilnya adalah $2026$, dan suku pertamanya ($x_1$) bernilai $10$, berapakah nilai dari suku terakhirnya ($x_{2026}$)?
Lihat Penyelesaian Soal 3
Barisan memiliki $2026$ suku, yang berarti terdapat tepat $1013$ suku ganjil dan $1013$ suku genap.
Diketahui: Jumlah Genap - Jumlah Ganjil = $2026$. Maka:
$$ 1013b = 2026 \implies b = 2 $$
2. Hitung suku terakhir:
Gunakan rumus suku ke-$n$: $U_n = a + (n-1)b$
$$ x_{2026} = x_1 + (2026 - 1)b $$ $$ x_{2026} = 10 + 2025(2) $$ $$ x_{2026} = 10 + 4050 $$
Barisan aritmetika $x_1, x_2, \dots, x_{2027}$ memiliki jumlah suku yang ganjil (ada $2027$ suku). Diketahui nilai suku tengahnya (yaitu suku ke-$1014$) adalah $2026$. Misalkan $A$ adalah total jumlah suku ganjil dan $B$ adalah total jumlah suku genap. Berapakah nilai dari $A - B$?
Lihat Penyelesaian Soal 4
1. Gunakan sifat rata-rata suku (Suku Tengah):
Dalam barisan aritmetika, jumlah sekelompok suku yang posisinya simetris sama dengan banyaknya suku dikali nilai suku tengahnya.
$A = x_1 + x_3 + \dots + x_{2027}$ (ada $1014$ suku). Nilai tengah kelompok ini adalah $x_{1014}$.
$$ A = 1014 \times x_{1014} $$
$B = x_2 + x_4 + \dots + x_{2026}$ (ada $1013$ suku). Nilai tengah kelompok ini juga $x_{1014}$.
$$ B = 1013 \times x_{1014} $$
2. Hitung selisihnya:
$$ A - B = (1014 \times x_{1014}) - (1013 \times x_{1014}) $$ $$ A - B = 1 \times x_{1014} $$
Karena diketahui suku ke-$1014$ adalah $2026$, maka:
Sebuah barisan aritmetika berhingga memiliki jumlah seluruh suku sama dengan $2026$. Suku pertamanya ($a$) dan beda antar sukunya ($b$) keduanya merupakan bilangan bulat positif. Jika banyaknya suku disimbolkan dengan $n$ (dengan syarat $n > 2$), tentukan nilai $n$ maksimal yang paling mungkin untuk barisan ini!
Lihat Penyelesaian Soal 5
$$ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) = 2026 $$ $$ n (2a + (n-1)b) = 4052 $$
2. Cari faktor dari 4052:
Persamaan di atas menunjukkan bahwa $n$ haruslah faktor dari $4052$.
$$ 4052 = 4 \times 1013 $$ Faktor dari $4052$ adalah: $1, 2, 4, 1013, 2026, 4052$.
3. Batasi nilai $n$ dengan logika:
Karena $a \ge 1$ dan $b \ge 1$ (keduanya bilangan bulat positif), maka nilai minimal untuk bagian dalam kurung adalah:
$$ 2a + (n-1)b \ge 2(1) + (n-1)(1) $$ $$ 2a + (n-1)b \ge n + 1 $$
Artinya, dalam perkalian $n \times (2a + (n-1)b)$, pengali kedua pasti selalu lebih besar dari $n$. Maka $n$ harus lebih kecil dari akar kuadrat $4052$.
Karena $\sqrt{4052} \approx 63.6$, maka $n < 63$.
4. Cek faktor yang memenuhi:
Dari daftar faktor $\{1, 2, 4, 1013, 2026, 4052\}$, yang nilainya di bawah $63$ hanyalah $1, 2,$ dan $4$.
Karena syarat soal menyebutkan $n > 2$, maka satu-satunya nilai $n$ yang tersisa dan paling maksimal adalah $4$.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar