Soal OSP Matematika SMP Nomor 9 Tahun 2025

Wah, ini adalah soal aljabar tingkat lanjut yang sangat cantik! Soal ini menggabungkan manipulasi aljabar (substitusi), persamaan lingkaran, optimasi, dan kepekaan terhadap nilai pendekatan akar. Biasanya tipe soal seperti ini sering muncul di OSN tingkat Provinsi atau Nasional.

Teka-Teki Dua Kotak (Substitusi Aljabar & Optimasi)

Terdapat dua kotak misterius, yaitu kotak A dan kotak B. Di dalam setiap kotak terdapat suatu bilangan rahasia. Sementara, di luar kedua kotak terdapat sebuah petunjuk sebagai berikut:

"Jika bilangan dalam kotak A dikurangi dua kali akar dari hasil penjumlahan bilangan dalam kotak A dengan tiga, hasilnya sama dengan hasil penjumlahan dari negatif bilangan dalam kotak B dengan dua kali akar dari hasil penjumlahan bilangan dalam kotak B dengan satu."

Dengan petunjuk tersebut, bilangan bulat terbesar yang mungkin diperoleh dari penjumlahan bilangan dalam kotak A dan kotak B adalah ...

🗝️ Buka Kunci Penyelesaian

Konsep Dasar yang Digunakan

• Translasi Bahasa ke Aljabar: Mengubah petunjuk kalimat panjang menjadi satu persamaan matematis.
• Metode Substitusi: Mengganti bentuk akar dengan variabel baru untuk mempermudah perhitungan (menghindari bentuk irasional yang rumit).
• Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Membentuk persamaan kuadrat menjadi persamaan lingkaran.
• Optimasi & Geometri (Trigonometri): Mencari nilai maksimum dari suatu fungsi linier yang dibatasi oleh sebuah persamaan lingkaran.

Langkah 1: Menerjemahkan Petunjuk Menjadi Persamaan

Mari kita tuliskan kalimat petunjuk tersebut ke dalam bentuk matematika. Misalkan isi kotak tersebut adalah A dan B:
A − 2√(A + 3) = −B + 2√(B + 1)

Karena target kita adalah mencari nilai maksimum dari penjumlahan kotak A dan B, mari kita pindahkan −B ke ruas kiri:

A + B = 2√(A + 3) + 2√(B + 1)

Langkah 2: Melakukan Substitusi Variabel

Bentuk akar membuat perhitungan menjadi sulit. Kita buat variabel bantuan baru:
Misalkan x = √(A + 3), maka A = x² − 3.
Misalkan y = √(B + 1), maka B = y² − 1.
(Catatan: karena x dan y adalah hasil akar, maka x ≥ 0 dan y ≥ 0)

Nilai yang ingin kita cari adalah A + B:
A + B = (x² − 3) + (y² − 1)
A + B = x² + y² − 4

Langkah 3: Membentuk Persamaan Lingkaran

Sekarang substitusikan A, B, x, dan y ke dalam persamaan dari Langkah 1:
(x² − 3) + (y² − 1) = 2x + 2y
x² + y² − 4 = 2x + 2y
x² − 2x + y² − 2y = 4

Lengkapkan kuadrat sempurnanya:
(x − 1)² − 1 + (y − 1)² − 1 = 4

(x − 1)² + (y − 1)² = 6

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di (1, 1) dan jari-jari √6.

Langkah 4: Mengoptimasi Target

Ingat kembali, nilai yang ingin dimaksimumkan adalah A + B.
Dari persamaan sebelum dikuadratkan sempurnakan, kita tahu bahwa:
x² + y² − 4 = 2x + 2y.
Karena A + B = x² + y² − 4, maka A + B = 2(x + y).
Artinya, kita cukup mencari nilai maksimum dari x + y.

Menggunakan bantuan substitusi Trigonometri pada lingkaran (x − 1)² + (y − 1)² = (√6)²:
x = 1 + √6 cos θ
y = 1 + √6 sin θ

Maka,
x + y = (1 + √6 cos θ) + (1 + √6 sin θ)
x + y = 2 + √6 (cos θ + sin θ)

Nilai maksimum dari (cos θ + sin θ) adalah √2. Sehingga:
Maksimum x + y = 2 + √6(√2) = 2 + √12 = 2 + 2√3.

Langkah 5: Mencari Nilai Bulat Terbesar

Kembali ke target awal kita: A + B = 2(x + y).
Nilai maksimum A + B = 2(2 + 2√3) = 4 + 4√3.

Sekarang kita hitung pendekatannya:
Kita tahu √3 bernilai sekitar 1,732.
Maka, 4 + 4(1,732) = 4 + 6,928 = 10,928.

Karena yang ditanyakan adalah "bilangan bulat terbesar" yang mungkin diperoleh (artinya bilangan bulat yang nilainya tidak lebih dari nilai maksimum real-nya), maka kita ambil angka bulat tepat di bawah 10,928.

Bilangan bulat terbesar dari penjumlahan kotak A dan B adalah 10