Soal OSK Matematika SMP Nomor 22 Tahun 2025

Soal ini sangat menarik karena melibatkan pergerakan dalam grid dua dimensi dengan opsi gerakan diagonal. Dalam matematika, masalah pencarian jalur seperti ini sering dikaitkan dengan Bilangan Delannoy. Berikut adalah penjelasan konsep dan langkah-langkah penyelesaiannya.

Pembahasan Soal Kombinatorika: Banyaknya Jalur pada Grid

Berikut adalah pembahasan lengkap beserta langkah-langkah penyelesaian untuk soal pencarian rute atau jalur dengan opsi gerakan diagonal.

Deskripsi Soal

Suatu objek di titik \( (x, y) \) hanya dapat bergerak ke titik \( (x + 1, y) \), \( (x, y + 1) \), atau \( (x + 1, y + 1) \). Banyaknya jalur berbeda yang dapat dilalui objek yang bergerak dari titik \( (0,0) \) ke titik \( (5,5) \) adalah ....

Pilihan Jawaban:
A. 25
B. 252
C. 1683
D. 3125

Konsep yang Digunakan

• Translasi Pergerakan:
  • Gerak ke \( (x + 1, y) \) berarti melangkah 1 satuan ke Kanan (K).
  • Gerak ke \( (x, y + 1) \) berarti melangkah 1 satuan ke Atas (A).
  • Gerak ke \( (x + 1, y + 1) \) berarti melangkah 1 satuan Diagonal (D).
• Permutasi dengan Unsur yang Sama: Digunakan karena urutan langkah menentukan rute yang berbeda. Rumusnya adalah: \[ P = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} \] Di mana \( n \) adalah total langkah.

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Menentukan Variabel dan Persamaan
   Tujuan kita adalah berpindah 5 satuan ke kanan dan 5 satuan ke atas. Misalkan \( k \) (Kanan), \( a \) (Atas), dan \( d \) (Diagonal).
   Karena langkah diagonal (\( D \)) menyumbang 1 ke kanan dan 1 ke atas sekaligus:
   • \( k + d = 5 \implies k = 5 - d \)
   • \( a + d = 5 \implies a = 5 - d \)
   Total langkah \( (n) = k + a + d = (5 - d) + (5 - d) + d = 10 - d \).
2. Menghitung Kemungkinan Berdasarkan Banyaknya Langkah Diagonal (\( d \))
   Nilai \( d \) yang mungkin adalah 0 hingga 5. Kita hitung permutasinya: \[ P = \frac{(10 - d)!}{(5 - d)! \times (5 - d)! \times d!} \]
   • Kasus \( d = 0 \): 5 Kanan, 5 Atas, 0 Diagonal (\( n = 10 \))
     \[ P = \frac{10!}{5! \times 5! \times 0!} = 252 \]
   • Kasus \( d = 1 \): 4 Kanan, 4 Atas, 1 Diagonal (\( n = 9 \))
     \[ P = \frac{9!}{4! \times 4! \times 1!} = 630 \]
   • Kasus \( d = 2 \): 3 Kanan, 3 Atas, 2 Diagonal (\( n = 8 \))
     \[ P = \frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = 560 \]
   • Kasus \( d = 3 \): 2 Kanan, 2 Atas, 3 Diagonal (\( n = 7 \))
     \[ P = \frac{7!}{2! \times 2! \times 3!} = 210 \]
   • Kasus \( d = 4 \): 1 Kanan, 1 Atas, 4 Diagonal (\( n = 6 \))
     \[ P = \frac{6!}{1! \times 1! \times 4!} = 30 \]
   • Kasus \( d = 5 \): 0 Kanan, 0 Atas, 5 Diagonal (\( n = 5 \))
     \[ P = \frac{5!}{0! \times 0! \times 5!} = 1 \]
3. Menjumlahkan Semua Kemungkinan
   Total jalur berbeda = \( 252 + 630 + 560 + 210 + 30 + 1 = 1683 \)

Kesimpulan:
Banyaknya jalur berbeda yang dapat dilalui objek tersebut adalah 1683. Jawaban yang tepat adalah C.