Soal OSK Matematika SMP Nomor 24 Tahun 2025

Soal tentang peluang kombinatorik ini sungguh menguji ketelitian! Trik utamanya adalah tidak menghitung kejadian yang saling tumpang tindih (overlap). Menghitung secara langsung dari depan ke belakang dengan menetapkan kapan "3 ganjil" itu pertama kali muncul adalah cara paling aman.

Peluang Pola Bilangan (Kombinatorika Dasar)

Liam berkesempatan memilih secara acak satu nomor keberuntungan yang terdiri dari 6 digit bilangan dari 0 sampai 9. Ia akan mendapatkan hadiah jika ada setidaknya tiga bilangan ganjil berurutan di nomor keberuntungannya. Peluang Liam mendapatkan hadiah adalah ....

A. 1/8
B. 3/16
C. 1/4
D. 5/16

🎲 Buka Analisis & Penyelesaian

Konsep Dasar yang Digunakan

• Pemodelan Biner: Setiap digit dari 0-9 memiliki peluang yang sama untuk menjadi Ganjil (1, 3, 5, 7, 9) atau Genap (0, 2, 4, 6, 8). Peluang muncul Ganjil = 5/10 = 1/2. Peluang Genap = 5/10 = 1/2.
• Kaidah Pencacahan (Kasus Saling Lepas): Agar tidak ada pola yang terhitung dua kali, kita akan memecah kasus berdasarkan di mana deretan 3 ganjil itu pertama kali muncul.

Langkah 1: Menentukan Total Ruang Sampel

Karena kita hanya peduli pada sifat Ganjil (G) atau Genap (X), setiap digit hanya punya 2 kemungkinan. Untuk nomor yang terdiri dari 6 digit, total semua variasi susunan pola Ganjil/Genap adalah:
Total Kemungkinan = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶ = 64 pola.

Langkah 2: Menghitung Pola Sukses (Minimal 3 Ganjil)

Kita bagi kasus berdasarkan posisi kemunculan PERTAMA KALI dari pola tiga ganjil berurutan (G G G). Misalkan G = Ganjil, X = Genap, dan _ = Bebas (bisa G atau X).

• Kasus 1: Muncul pertama di digit ke-1
  Pola: G G G _ _ _
  Karena 3 digit pertama sudah GGG, 3 digit terakhir bebas. Jumlah pola: 2 × 2 × 2 = 8 pola.
• Kasus 2: Muncul pertama di digit ke-2
  Pola: X G G G _ _
  Digit pertama wajib Genap (X) agar GGG tidak tertarik ke depan (yang akan tumpang tindih dengan Kasus 1). Dua digit terakhir bebas. Jumlah pola: 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 2 = 4 pola.
• Kasus 3: Muncul pertama di digit ke-3
  Pola: _ X G G G _
  Digit ke-2 wajib X agar GGG pertama tidak mundur ke Kasus 2. Digit ke-1 bebas, digit ke-6 bebas. Jumlah pola: 2 × 1 × 1 × 1 × 1 × 2 = 4 pola.
• Kasus 4: Muncul pertama di digit ke-4
  Pola: _ _ X G G G
  Digit ke-3 wajib X. Digit ke-1 dan ke-2 bebas (ada 4 kemungkinan: XX, XG, GX, GG). Karena hanya 2 digit awal, tidak mungkin membentuk GGG, jadi semua 4 kemungkinan aman. Jumlah pola: 2 × 2 × 1 × 1 × 1 × 1 = 4 pola.

Total Pola Sukses: 8 + 4 + 4 + 4 = 20 pola.

Langkah 3: Menghitung Peluang Akhir

Peluang kejadian adalah jumlah kejadian sukses dibagi dengan total ruang sampel.
Peluang = Pola Sukses / Total Pola
Peluang = 20 / 64

Mari kita sederhanakan pecahan tersebut dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 4:
Peluang = (20 ÷ 4) / (64 ÷ 4) = 5/16.

Peluang Liam mendapatkan hadiah adalah 5/16 (Jawaban: D)