"Sobat Math, mari kita asah logika kombinatorika kita dengan teka-teki yang satu ini. Bayangkan delapan ekor semut diletakkan di setiap sudut sebuah kubus kerangka. Secara bersamaan, mereka semua bergerak ke sudut tetangga melalui rusuk, secara acak. Sekilas, rasanya kekacauan pasti terjadi, bukan? Namun, berapakah peluang agar tidak ada satu pun semut yang bertabrakan, baik di tengah jalan maupun saat berebut tempat di sudut tujuan? Soal olimpiade ini terlihat rumit, tetapi bisa diselesaikan dengan sangat elegan menggunakan konsep teori graf. Mari kita bedah langkah-langkahnya secara sistematis."
Pembahasan: Pergerakan Semut pada Kubus
Delapan ekor semut ditempatkan pada setiap titik sudut suatu kerangka kubus yang terbuat dari kawat, sedemikian sehingga satu ekor semut menempati satu titik sudut kubus. Pada saat yang bersamaan masing-masing semut bergerak dengan kecepatan sama sepanjang rangka kubus secara acak menuju salah satu dari tiga titik sudut yang terhubung dengan posisi awalnya. Setelah sampai di titik sudut tujuan, semua semut berhenti.
Peluang bahwa tidak ada semut yang bertemu dengan semut lain baik di tengah perjalanan maupun di titik sudut tujuan adalah ....
A.
📌 Konsep Dasar yang Digunakan
- Graf Bipartit Kubus: Sudut kubus dapat dibagi menjadi 2 kelompok warna berselang-seling (misal: 4 Hitam dan 4 Putih). Semut dari sudut Hitam selalu bergerak menuju sudut Putih, dan sebaliknya.
- Perfect Matching (Pencocokan Sempurna): Konfigurasi di mana pergerakan 4 semut menutupi seluruh sudut tujuan tanpa ada yang tumpang tindih. Pada kubus, terdapat tepat 9 bentuk Perfect Matching.
- Himpunan Saling Lepas (Disjoint): Agar semut tidak bertabrakan di tengah jalan (rusuk yang sama), kelompok pergerakan semut Hitam dan Putih harus memilih Perfect Matching yang tidak menggunakan rusuk yang sama.
Setiap semut (total 8 ekor) memiliki tepat 3 pilihan rusuk untuk bergerak dari titik awalnya.
Total pola pergerakan acak = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 38
Dalam kerangka kubus, terdapat 9 bentuk Perfect Matching (PM), yang terbagi menjadi dua jenis:
• 3 PM Paralel (terdiri dari 4 rusuk sejajar sumbu-x, sumbu-y, atau sumbu-z).
• 6 PM Campuran (kombinasi rusuk yang melintasi sisi-sisi kubus secara menyilang).
Kita hitung berapa banyak pasangan arah gerak semut Hitam (PMH) dan semut Putih (PMP) yang aman (tidak melalui rusuk yang sama):
- Jika semut Hitam memilih PM Paralel: Ada 3 pilihan arah. Untuk masing-masing arah tersebut, semut Putih memiliki 4 pilihan PM lain yang aman. (Total: 3 × 4 = 12 cara).
- Jika semut Hitam memilih PM Campuran: Ada 6 pilihan arah. Untuk masing-masing arah tersebut, semut Putih hanya memiliki 2 pilihan PM tersisa yang aman. (Total: 6 × 2 = 12 cara).
Total pola pergerakan aman = 12 + 12 = 24 pola.
Peluang kejadian = (Banyaknya Pola Aman) / (Total Pola)
Peluang =
Kita sederhanakan pecahannya dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
24 = 8 × 3
Peluang =
Tidak ada komentar:
Posting Komentar