Soal OSK Matematika SMP Nomor 23 Tahun 2025

 Alma memiliki 9 stiker sebagai berikut.

Delapan stiker akan ditempel berjajar dari kiri ke kanan di sampul buku tulisnya. Banyaknya cara ia menempel kedelapan stiker tersebut, sedemikian sehingga stiker yang sama tidak bersebelahan dan stiker bergambar hati tersenyum terletak di paling kanan adalah .... 

A. 26 

B. 32 

C. 35 

D. 36

Soal kombinatorika yang seru ini! Soal ini menuntut kejelian karena ada beberapa syarat yang harus dipenuhi secara bersamaan.

Berikut adalah konsep dan langkah penyelesaian sistematisnya:

 

Pembahasan: Kombinatorika Susunan Stiker

📌 Konsep & Identifikasi Awal

Mari kita buat simbol untuk memudahkan penulisan:

• A = Stiker "Amazing Ideas" (Tersedia: 2 buah)
• B = Stiker Centang Biru (Tersedia: 4 buah)
• C = Stiker Hati Tersenyum (Tersedia: 3 buah)

Syarat mutlak yang harus dipenuhi:

1. Hanya 8 stiker yang ditempel dari total 9 stiker tersedia (artinya 1 stiker pasti dibuang/tidak dipakai).
2. Stiker bergambar Hati (C) WAJIB berada di posisi paling kanan (posisi ke-8).
3. Stiker yang sejenis tidak boleh bersebelahan.

Karena kita hanya memakai 8 dari 9 stiker, penyelesaiannya kita bagi menjadi 3 kasus berdasarkan stiker mana yang tidak dipakai.

Kasus 1: Membuang 1 Stiker 'A'

Stiker yang akan disusun: 1A, 4B, 3C.

• Posisi ke-8 sudah pasti diisi C. Sisa stiker untuk posisi 1 sampai 7 adalah: 1A, 4B, 2C.
• Karena ada 4 stiker B yang akan diletakkan di 7 tempat kosong dan tidak boleh bersebelahan, stiker B wajib diletakkan selang-seling di posisi ganjil (1, 3, 5, 7):
  
  B _ B _ B _ B
• Cek keamanan ujung: Posisi ke-7 diisi B, sehingga aman bersebelahan dengan C di posisi ke-8.
• Tersisa posisi genap (2, 4, 6) untuk diisi oleh 1A dan 2C. Banyak cara menyusunnya adalah permutasi unsur sama:

Banyak cara =

3!1! × 2!

= 3 cara.

Kasus 2: Membuang 1 Stiker 'C'

Stiker yang akan disusun: 2A, 4B, 2C.

• Posisi ke-8 sudah pasti diisi C. Sisa stiker untuk posisi 1 sampai 7 adalah: 2A, 4B, 1C.
• Sama seperti Kasus 1, 4 stiker B wajib mengisi posisi ganjil (1, 3, 5, 7) agar tidak bersebelahan.
• Tersisa posisi genap (2, 4, 6) untuk diisi oleh 2A dan 1C.

Banyak cara =

3!2! × 1!

= 3 cara.

Kasus 3: Membuang 1 Stiker 'B'

Stiker yang akan disusun: 2A, 3B, 3C.

Posisi ke-8 diisi C. Sisa stiker untuk posisi 1 sampai 7 adalah: 2A, 3B, 2C. Kita susun dulu stiker A dan C (total 4 stiker), lalu selipkan stiker B di celah-celahnya (Metode Celah):

1. A A C C: Wajib diselipkan B di antara huruf kembar → _ A B A _ C B C _. Sisa 1 stiker B. Agar posisi ke-7 bukan C, stiker B sisa wajib ditaruh di celah paling kanan. → 1 cara.
2. C C A A: Wajib diselipkan B → _ C B C _ A B A _. Sisa 1 stiker B untuk 3 celah kosong. → C(3,1) = 3 cara.
3. A C C A: Wajib diselipkan B → _ A _ C B C _ A _. Sisa 2 stiker B untuk 4 celah kosong. → C(4,2) = 6 cara.
4. C A A C: Wajib diselipkan B → _ C _ A B A _ C _. Tersedia 4 celah kosong untuk 2 stiker B → C(4,2) = 6 cara. Namun, jika celah paling kanan dibiarkan kosong, susunan berakhir dengan huruf C (Berbahaya!). Kasus berbahaya = C(3,2) = 3 cara. Cara aman = 6 - 3 = 3 cara.
5. A C A C: Tidak ada huruf kembar, sediakan 5 celah → _ A _ C _ A _ C _. Memilih 3 celah untuk 3 stiker B → C(5,3) = 10 cara. Kasus berbahaya (celah kanan kosong) → C(4,3) = 4 cara. Cara aman = 10 - 4 = 6 cara.
6. C A C A: Langsung sediakan 5 celah → _ C _ A _ C _ A _. Memilih 3 celah dari 5 → C(5,3) = 10 cara. Ujungnya A, jadi semuanya aman. → 10 cara.

Total Kasus 3 = 1 + 3 + 6 + 3 + 6 + 10 = 29 cara.

Kesimpulan Akhir

Total banyaknya cara menempel stiker adalah penjumlahan dari ketiga kasus di atas:

Total Cara = Kasus 1 + Kasus 2 + Kasus 3

Total Cara = 3 + 3 + 29 = 35 cara.

Banyaknya cara Alma menempel kedelapan stiker tersebut adalah 35 (Jawaban: C)