Soal OSNK Matematika SMP Nomor 9

 

Halo teman-teman pembaca! Selamat datang kembali.

Pernahkah kalian melihat soal matematika yang penuh dengan variabel dan persamaan kuadrat, lalu seketika merasa pusing duluan? Jika iya, itu hal yang sangat wajar! Soal nomor 9 yang akan kita bedah kali ini memang memiliki tampilan luar yang cukup mengintimidasi. Apalagi dengan adanya syarat khusus bahwa hasil kalinya harus berupa "bilangan prima".

Namun, rahasia utama dalam menaklukkan soal-soal seperti ini bukanlah dengan menghafal rumus rumit, melainkan dengan ketenangan kita dalam mengurai petunjuknya satu per satu. Di balik persamaannya yang terlihat panjang, ternyata ada logika sederhana yang akan langsung menuntun kita pada jawaban akhir.

Pada postingan kali ini, kita akan mengurai soal tersebut langkah demi langkah. Saya sudah menyusun pembahasannya agar mudah dipahami. Kalian juga bisa mengarahkan kursor (atau menyentuh layar jika menggunakan HP) pada setiap kotak langkah di bawah ini untuk menyorot pembahasannya.

Yuk, siapkan alat tulis kalian dan mari kita pecahkan soal ini bersama-sama!

Nomor 9

Diketahui p dan q adalah bilangan bulat positif dengan p - 1 = (k² - 4k - 3)² dan q - 1 = (k² - 4k - 5)².

Jika pq adalah bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin bagi p² + q² adalah ....

• A. 10
• B. 26
• C. 122
• D. 1370

Pembahasan Lengkap

1. Analisis Sifat Bilangan Prima

Kunci utama dari soal ini adalah informasi bahwa hasil kali pq adalah bilangan prima. Karena p dan q adalah bilangan bulat positif, satu-satunya cara agar hasil kali mereka menghasilkan bilangan prima adalah jika salah satu bilangannya bernilai 1 dan bilangan yang lainnya adalah bilangan prima itu sendiri.

Oleh karena itu, kita memiliki dua kemungkinan kasus:

• Kasus 1: p = 1 dan q adalah bilangan prima.
• Kasus 2: q = 1 dan p adalah bilangan prima.

2. Menyederhanakan Bentuk Persamaan

Untuk mempermudah perhitungan, mari kita misalkan sebuah variabel baru:

x = k² - 4k

Maka persamaan untuk p dan q dapat ditulis ulang menjadi:

• p - 1 = (x - 3)² → p = (x - 3)² + 1
• q - 1 = (x - 5)² → q = (x - 5)² + 1

3. Evaluasi Kasus 1: Jika p = 1

Substitusikan nilai p = 1 ke dalam persamaan:

1 = (x - 3)² + 1
0 = (x - 3)²
x = 3

Sekarang, substitusikan nilai x = 3 ini ke dalam persamaan q:

q = (3 - 5)² + 1
q = (-2)² + 1 = 5

Syarat terpenuhi karena 5 adalah bilangan prima. Kita dapatkan pasangan (p, q) = (1, 5). Nilai dari p² + q² adalah:

1² + 5² = 1 + 25 = 26

4. Evaluasi Kasus 2: Jika q = 1

Substitusikan nilai q = 1 ke dalam persamaan:

1 = (x - 5)² + 1
0 = (x - 5)²
x = 5

Sekarang, substitusikan nilai x = 5 ini ke dalam persamaan p:

p = (5 - 3)² + 1
p = (2)² + 1 = 5

Syarat terpenuhi karena 5 adalah bilangan prima. Kita dapatkan pasangan (p, q) = (5, 1). Nilai dari p² + q² adalah:

5² + 1² = 25 + 1 = 26

Dari kedua kemungkinan skenario di atas, nilai yang dihasilkan untuk p² + q² sama dan maksimal.

Jadi, jawaban yang benar adalah B. 26