Soal OSNK Matematika SMP Nomor 9

 

Halo teman-teman pembaca! Selamat datang kembali.

Pernahkah kalian melihat soal matematika yang penuh dengan variabel dan persamaan kuadrat, lalu seketika merasa pusing duluan? Jika iya, itu hal yang sangat wajar! Soal nomor 9 yang akan kita bedah kali ini memang memiliki tampilan luar yang cukup mengintimidasi. Apalagi dengan adanya syarat khusus bahwa hasil kalinya harus berupa "bilangan prima".

Namun, rahasia utama dalam menaklukkan soal-soal seperti ini bukanlah dengan menghafal rumus rumit, melainkan dengan ketenangan kita dalam mengurai petunjuknya satu per satu. Di balik persamaannya yang terlihat panjang, ternyata ada logika sederhana yang akan langsung menuntun kita pada jawaban akhir.

Pada postingan kali ini, kita akan mengurai soal tersebut langkah demi langkah. Saya sudah menyusun pembahasannya agar mudah dipahami. Kalian juga bisa mengarahkan kursor (atau menyentuh layar jika menggunakan HP) pada setiap kotak langkah di bawah ini untuk menyorot pembahasannya.

Yuk, siapkan alat tulis kalian dan mari kita pecahkan soal ini bersama-sama!

Nomor 9

Diketahui p dan q adalah bilangan bulat positif dengan p - 1 = (k² - 4k - 3)² dan q - 1 = (k² - 4k - 5)².

Jika pq adalah bilangan prima, maka nilai terbesar yang mungkin bagi p² + q² adalah ....

• A. 10
• B. 26
• C. 122
• D. 1370

Pembahasan Lengkap

1. Analisis Sifat Bilangan Prima

Kunci utama dari soal ini adalah informasi bahwa hasil kali pq adalah bilangan prima. Karena p dan q adalah bilangan bulat positif, satu-satunya cara agar hasil kali mereka menghasilkan bilangan prima adalah jika salah satu bilangannya bernilai 1 dan bilangan yang lainnya adalah bilangan prima itu sendiri.

Oleh karena itu, kita memiliki dua kemungkinan kasus:

• Kasus 1: p = 1 dan q adalah bilangan prima.
• Kasus 2: q = 1 dan p adalah bilangan prima.

2. Menyederhanakan Bentuk Persamaan

Untuk mempermudah perhitungan, mari kita misalkan sebuah variabel baru:

x = k² - 4k

Maka persamaan untuk p dan q dapat ditulis ulang menjadi:

• p - 1 = (x - 3)² → p = (x - 3)² + 1
• q - 1 = (x - 5)² → q = (x - 5)² + 1

3. Evaluasi Kasus 1: Jika p = 1

Substitusikan nilai p = 1 ke dalam persamaan:

1 = (x - 3)² + 1
0 = (x - 3)²
x = 3

Sekarang, substitusikan nilai x = 3 ini ke dalam persamaan q:

q = (3 - 5)² + 1
q = (-2)² + 1 = 5

Syarat terpenuhi karena 5 adalah bilangan prima. Kita dapatkan pasangan (p, q) = (1, 5). Nilai dari p² + q² adalah:

1² + 5² = 1 + 25 = 26

4. Evaluasi Kasus 2: Jika q = 1

Substitusikan nilai q = 1 ke dalam persamaan:

1 = (x - 5)² + 1
0 = (x - 5)²
x = 5

Sekarang, substitusikan nilai x = 5 ini ke dalam persamaan p:

p = (5 - 3)² + 1
p = (2)² + 1 = 5

Syarat terpenuhi karena 5 adalah bilangan prima. Kita dapatkan pasangan (p, q) = (5, 1). Nilai dari p² + q² adalah:

5² + 1² = 25 + 1 = 26

Dari kedua kemungkinan skenario di atas, nilai yang dihasilkan untuk p² + q² sama dan maksimal.

Jadi, jawaban yang benar adalah B. 26

5 Latihan Soal Pendalaman Materi: Sifat Bilangan Prima dan Aljabar Kuadrat

Berikut adalah soal-soal tingkat lanjut yang menguji pemahaman Anda mengenai sifat bilangan prima jika dihubungkan dengan persamaan aljabar, nilai mutlak, dan eksponensial. Kerjakan secara mandiri, lalu klik Lihat Penyelesaian untuk memeriksa langkah-langkahnya.

---

Soal 1: Bentuk Kuadrat Polinomial

Diketahui x dan y adalah bilangan bulat positif dengan x - 1 = (m² - 5m + 4)² dan y - 1 = (m² - 5m)² untuk suatu bilangan real m. Jika xy adalah bilangan prima, maka nilai dari x + y adalah ....

A. 16
B. 17
C. 18
D. 34

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

Konsep utama: Jika perkalian dua bilangan bulat positif menghasilkan bilangan prima (xy = prima), maka salah satu bilangan PASTI bernilai 1.

• Kasus 1: x = 1
  x - 1 = 0 → (m² - 5m + 4)² = 0 → m² - 5m + 4 = 0
  Faktorkan: (m - 1)(m - 4) = 0 → m = 1 atau m = 4.
  Substitusi m = 1 ke persamaan y: m² - 5m = 1 - 5 = -4.
  y - 1 = (-4)² → y - 1 = 16 → y = 17 (17 adalah prima, maka memenuhi).
• Kasus 2: y = 1
  y - 1 = 0 → m² - 5m = 0 → m(m - 5) = 0 → m = 0 atau m = 5.
  Substitusi m = 0 ke persamaan x: m² - 5m + 4 = 4.
  x - 1 = (4)² → x - 1 = 16 → x = 17 (memenuhi).

Dalam kedua kasus, pasangan bilangannya adalah 1 dan 17. Maka, x + y = 1 + 17 = 18.

Jawaban: C

---

Soal 2: Fungsi Nilai Mutlak

Diketahui A dan B adalah bilangan bulat positif yang dirumuskan sebagai A = |3k - 8| - 4 dan B = |3k - 8| + 6 untuk suatu bilangan real k. Jika A × B menghasilkan bilangan prima, tentukan nilai dari A² + B²!

A. 100
B. 122
C. 144
D. 170

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

1. Syarat agar A × B prima adalah salah satunya harus bernilai 1.
2. Perhatikan rumus keduanya: B ditambahkan 6, sedangkan A dikurangi 4. Ini berarti nilai B pasti selalu lebih besar daripada A (B > A). Karena keduanya bilangan bulat positif, maka yang pasti bernilai 1 adalah bilangan yang lebih kecil, yaitu A.
3. Cari nilai dari komponen mutlaknya:
   A = 1 → |3k - 8| - 4 = 1 → |3k - 8| = 5.
4. Substitusi langsung nilai |3k - 8| = 5 ke dalam persamaan B:
   B = |3k - 8| + 6 → B = 5 + 6 = 11.
5. Karena 11 adalah bilangan prima, asumsi kita benar. Kita punya A = 1 dan B = 11.
6. Maka nilai A² + B² = 1² + 11² = 1 + 121 = 122.

Jawaban: B

---

Soal 3: Simetri Persamaan Kuadrat

Diketahui u dan v adalah bilangan bulat positif yang dirumuskan sebagai u = t² + 5t + 5 dan v = t² - 5t + 5 untuk suatu bilangan bulat t. Jika uv adalah bilangan prima, berapakah nilai maksimum yang mungkin untuk u + v?

A. 12
B. 24
C. 42
D. 52

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

Syarat agar uv prima adalah u = 1 atau v = 1.

• Kasus 1: v = 1
  t² - 5t + 5 = 1 → t² - 5t + 4 = 0 → (t - 1)(t - 4) = 0 → t = 1 atau t = 4.
  Jika t = 1, maka u = 1² + 5(1) + 5 = 11 (prima). Nilai u + v = 11 + 1 = 12.
  Jika t = 4, maka u = 4² + 5(4) + 5 = 16 + 20 + 5 = 41 (prima). Nilai u + v = 41 + 1 = 42.
• Kasus 2: u = 1
  t² + 5t + 5 = 1 → t² + 5t + 4 = 0 → (t + 1)(t + 4) = 0 → t = -1 atau t = -4.
  Jika t = -1, maka v = (-1)² - 5(-1) + 5 = 11 (prima). Nilai u + v = 1 + 11 = 12.
  Jika t = -4, maka v = (-4)² - 5(-4) + 5 = 16 + 20 + 5 = 41 (prima). Nilai u + v = 1 + 41 = 42.

Dari perhitungan di atas, nilai maksimum dari u + v adalah 42.

Jawaban: C

---

Soal 4: Selisih Variabel

Bilangan bulat positif p dan q memenuhi persamaan p - 1 = (a² - 2a - 3)² dan q - 1 = (a² - 2a + 1)² untuk suatu bilangan real a. Jika pq adalah bilangan prima, tentukan nilai mutlak dari selisih kedua bilangan tersebut (|p - q|)!

A. 8
B. 16
C. 17
D. 18

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

1. Syarat pq prima adalah p = 1 atau q = 1.
2. Perhatikan bentuk aljabar di dalam kurung. Nilai (a² - 2a + 1) adalah 4 angka lebih besar dari (a² - 2a - 3).
   Misalkan X = a² - 2a - 3, maka persamaannya bisa disederhanakan menjadi:
   p - 1 = X² dan q - 1 = (X + 4)².
3. Kasus 1: p = 1
   p - 1 = 0 → X² = 0 → X = 0.
   Jika X = 0, maka q - 1 = (0 + 4)² → q - 1 = 16 → q = 17 (prima).
4. Kasus 2: q = 1
   q - 1 = 0 → (X + 4)² = 0 → X = -4.
   Jika X = -4, maka p - 1 = (-4)² → p - 1 = 16 → p = 17 (prima).
5. Kedua kasus memberikan pasangan himpunan bilangan {1, 17}. Maka selisih kedua bilangan tersebut adalah |1 - 17| = |-16| = 16.

Jawaban: B

---

Soal 5: Fungsi Eksponensial

Diketahui c dan d adalah bilangan bulat positif dengan c = 3^{|x - 2|} - 8 dan d = 3^{|x - 2|} + 10 untuk suatu bilangan real x. Jika cd adalah bilangan prima, berapakah nilai dari c + d?

A. 10
B. 16
C. 20
D. 28

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

1. Syarat cd prima adalah salah satunya harus bernilai 1.
2. Karena d dirumuskan dengan ditambah 10 sementara c dikurangi 8, maka sudah pasti nilai d > c. Agar perkaliannya menghasilkan bilangan prima positif, maka yang harus bernilai 1 adalah bilangan terkecilnya, yaitu c.
3. c = 1 → 3^{|x - 2|} - 8 = 1 → 3^{|x - 2|} = 9.
4. Kita cukup menggunakan kesatuan nilai eksponen (3^{|x - 2|} = 9) ini untuk mencari d tanpa perlu mencari nilai x-nya.
   Substitusi ke dalam persamaan d:
   d = 3^{|x - 2|} + 10 → d = 9 + 10 = 19.
5. Karena 19 adalah bilangan prima, maka kondisi terpenuhi. Kita dapatkan c = 1 dan d = 19.
6. Sehingga c + d = 1 + 19 = 20.

Jawaban: C