Soal OSNK Matematika SMP No. 8: Persamaan Linear

Tiga bersaudara Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku bulanan mereka dalam bentuk uang pecahan Rp5.000, Rp10.000, serta Rp20.000 dengan pembagian sebagai berikut: 

• Ana mendapatkan x lembar Rp5.000, y lembar Rp10.000, serta z lembar Rp20.000
• Bona mendapatkan y lembar Rp5.000, z lembar Rp10.000, serta x lembar Rp20.000.
• Cinta mendapatkan z lembar Rp5.000, x lembar Rp10.000, serta y lembar Rp20.000. Diketahui total uang saku ketiganya adalah Rp700.000. 

Maka pernyataan benar tentang uang saku mereka yang dapat disimpulkan dari informasi tersebut adalah ... 
A. Ana mendapatkan uang saku sejumlah tepat 20 lembar. 
B. Bona mendapatkan uang saku dengan nilai terbesar. 
C. Cinta mendapatkan uang saku dengan nilai terkecil. 
D. Ana, Bona, dan Cinta mendapatkan uang saku lembaran Rp10.000 yang sama banyaknya.

Pembahasan

Pemodelan Matematika

Mari kita definisikan total uang masing-masing berdasarkan lembaran x, y, dan z:

Ana 5.000x + 10.000y + 20.000z

Bona 20.000x + 5.000y + 10.000z

Cinta 10.000x + 20.000y + 5.000z

Jika total uang mereka bertiga adalah Rp700.000, maka jumlah seluruh variabel adalah:

(35.000x + 35.000y + 35.000z) = 700.000

Sederhanakan (bagi 35.000):

x + y + z = 20

Analisis Opsi Jawaban

Opsi

Logika & Pembuktian

Hasil

A

Karena persamaan menunjukkan x+y+z=20, maka jumlah lembar uang Ana (x+y+z) pasti 20 lembar.

BENAR

B

Besar uang Bona tergantung nilai variabel. Tidak ada informasi yang menjamin uang Bona paling besar.

TIDAK VALID

C

Sama seperti Bona, nilai terkecil tidak bisa dipastikan karena nilai x, y, z bisa beragam.

TIDAK VALID

D

Jumlah lembar Rp10.000 mereka adalah y, z, dan x. Tidak ada syarat yang mengharuskan ketiganya bernilai sama.

SALAH

✅

Kesimpulan Akhir Pernyataan yang paling tepat dan terbukti secara matematis adalah Pilihan A.

5 Latihan Soal Pendalaman Materi: Logika Aljabar

Berikut adalah kumpulan soal pendalaman materi mengenai logika aljabar dan permutasi variabel. Silakan kerjakan terlebih dahulu, lalu klik tombol Lihat Penyelesaian untuk mencocokkan jawaban Anda.

---

Soal 1: Keranjang Buah

Tiga buah keranjang Parsel (Keranjang A, B, dan C) berisi apel, jeruk, dan mangga. Harga satuan apel adalah Rp10.000, jeruk Rp15.000, dan mangga Rp25.000. Pembagian buahnya adalah sebagai berikut:

• Keranjang A berisi p apel, q jeruk, dan r mangga.
• Keranjang B berisi q apel, r jeruk, dan p mangga.
• Keranjang C berisi r apel, p jeruk, dan q mangga.

Jika total harga dari ketiga keranjang parsel tersebut digabungkan adalah Rp1.500.000, pernyataan mana yang pasti benar di bawah ini?

A. Keranjang A adalah parsel yang paling mahal harganya.
B. Setiap keranjang memiliki tepat 30 buah di dalamnya.
C. Jumlah total apel di ketiga keranjang lebih banyak dari jumlah mangga.
D. Keranjang B memiliki 10 buah apel, 10 jeruk, dan 10 mangga.

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

• Total harga ketiga keranjang = Harga A + Harga B + Harga C
• 1.500.000 = (10.000p + 15.000q + 25.000r) + (10.000q + 15.000r + 25.000p) + (10.000r + 15.000p + 25.000q)
• Gabungkan variabel yang sama:
• 1.500.000 = 50.000p + 50.000q + 50.000r
• 1.500.000 = 50.000(p + q + r)
• p + q + r = 1.500.000 ÷ 50.000 = 30
• Karena setiap keranjang berisi buah sebanyak (p + q + r), maka setiap keranjang pasti berisi tepat 30 buah.

Jawaban: B

---

Soal 2: Beban Buku di Perpustakaan

Tiga siswa bernama Ali, Budi, dan Caca membantu memindahkan buku di perpustakaan. Ada tiga jenis buku: Novel (200 gram), Komik (150 gram), dan Ensiklopedia (500 gram).

• Ali membawa a novel, b komik, dan c ensiklopedia.
• Budi membawa b novel, c komik, dan a ensiklopedia.
• Caca membawa c novel, a komik, dan b ensiklopedia.

Diketahui total berat seluruh buku yang dibawa oleh ketiga anak tersebut adalah 17 kg (17.000 gram). Kesimpulan yang pasti benar adalah...

A. Ali membawa beban paling berat karena jumlah novelnya paling banyak.
B. Total buku yang dibawa oleh Caca adalah tepat 20 buah buku.
C. Caca membawa Ensiklopedia paling sedikit dibandingkan yang lain.
D. Ketiga anak tersebut membawa berat beban yang sama rata.

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

• Total berat = Berat bawaan Ali + Budi + Caca
• 17.000 = (200a + 150b + 500c) + (200b + 150c + 500a) + (200c + 150a + 500b)
• 17.000 = 850a + 850b + 850c
• 17.000 = 850(a + b + c)
• a + b + c = 17.000 ÷ 850 = 20
• Jumlah buku yang dibawa masing-masing anak diformulasikan dari penjumlahan (a + b + c). Jadi, setiap anak (termasuk Caca) membawa tepat 20 buku. Kita tidak bisa memastikan berat bawaan siapa yang paling berat.

Jawaban: B

---

Soal 3: Penjualan Tiket Konser

Panitia menjual tiga kelas tiket konser selama tiga hari berturut-turut. Harga tiket VIP adalah Rp1.000.000, Reguler Rp500.000, dan Ekonomi Rp200.000.

• Hari 1: Terjual x VIP, y Reguler, z Ekonomi.
• Hari 2: Terjual y VIP, z Reguler, x Ekonomi.
• Hari 3: Terjual z VIP, x Reguler, y Ekonomi.

Apabila total pendapatan dari penjualan tiket selama 3 hari tersebut adalah Rp85.000.000, maka pernyataan yang tepat adalah...

A. Tiket VIP paling laku pada Hari 1.
B. Total penjualan tiket pada Hari 1, 2, maupun 3 masing-masing adalah 50 lembar.
C. Total pendapatan terbesar didapatkan pada Hari 2.
D. Tiket Reguler adalah tiket yang paling banyak terjual selama 3 hari.

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

• Pendapatan Total = Omset Hari 1 + Hari 2 + Hari 3
• Anggap harga dalam pecahan ratusan ribu untuk memudahkan hitungan (VIP = 10, Reg = 5, Eko = 2):
• 850 = (10x + 5y + 2z) + (10y + 5z + 2x) + (10z + 5x + 2y)
• 850 = 17x + 17y + 17z
• 850 = 17(x + y + z)
• x + y + z = 850 ÷ 17 = 50
• Total lembar tiket yang terjual setiap harinya adalah (x + y + z). Jadi, setiap hari panitia menjual tepat 50 lembar tiket (gabungan semua kelas).

Jawaban: B

---

Soal 4: Poin Misi Video Game

Dalam sebuah turnamen e-sports, terdapat tiga tim (Tim Merah, Tim Biru, Tim Hijau) yang harus menyelesaikan Misi Mudah (10 poin), Misi Sedang (20 poin), dan Misi Sulit (50 poin).

• Tim Merah menyelesaikan m Mudah, n Sedang, dan k Sulit.
• Tim Biru menyelesaikan n Mudah, k Sedang, dan m Sulit.
• Tim Hijau menyelesaikan k Mudah, m Sedang, dan n Sulit.

Setelah turnamen berakhir, total poin yang dikumpulkan dari gabungan ketiga tim tersebut adalah 2.400 poin. Berapakah jumlah total misi (gabungan dari Mudah, Sedang, Sulit) yang berhasil diselesaikan oleh Tim Hijau?

A. 15 misi
B. 20 misi
C. 30 misi
D. 40 misi

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

• Total Poin = Poin Merah + Biru + Hijau
• 2.400 = (10m + 20n + 50k) + (10n + 20k + 50m) + (10k + 20m + 50n)
• 2.400 = 80m + 80n + 80k
• 2.400 = 80(m + n + k)
• m + n + k = 2.400 ÷ 80 = 30
• Tim Hijau menyelesaikan Misi Mudah (k), Misi Sedang (m), dan Misi Sulit (n). Total misi yang mereka selesaikan adalah (k + m + n), yang terbukti berjumlah 30 misi.

Jawaban: C

---

Soal 5: Biaya Produksi Pabrik

Tiga pabrik perakitan (Pabrik 1, 2, dan 3) memproduksi barang dengan menggunakan tiga material inti: Kayu (biaya Rp4.000/unit), Plastik (biaya Rp3.000/unit), dan Logam (biaya Rp8.000/unit).

• Pabrik 1 menggunakan u unit kayu, v unit plastik, dan w unit logam.
• Pabrik 2 menggunakan v unit kayu, w unit plastik, dan u unit logam.
• Pabrik 3 menggunakan w unit kayu, u unit plastik, dan v unit logam.

Jika ditotalkan, pengeluaran gabungan ketiga pabrik untuk material tersebut adalah Rp600.000. Pernyataan yang sah untuk disimpulkan adalah...

A. Pabrik 1 memproduksi barang paling banyak karena menggunakan material u di awal.
B. Jumlah seluruh unit material (Kayu + Plastik + Logam) yang digunakan Pabrik 3 adalah tepat 40 unit.
C. Pabrik 2 memiliki pengeluaran material terendah.
D. Setiap pabrik mengeluarkan biaya tepat Rp200.000.

Lihat Penyelesaian

Penyelesaian:

• Total Biaya = Biaya Pabrik 1 + Pabrik 2 + Pabrik 3
• 600.000 = (4.000u + 3.000v + 8.000w) + (4.000v + 3.000w + 8.000u) + (4.000w + 3.000u + 8.000v)
• 600.000 = 15.000u + 15.000v + 15.000w
• 600.000 = 15.000(u + v + w)
• u + v + w = 600.000 ÷ 15.000 = 40
• Jumlah total unit material di setiap pabrik diformulasikan dari penjumlahan variabel (u + v + w). Jadi, tiap pabrik menggunakan tepat 40 unit material. Kita tidak bisa memastikan pembagian biayanya sama rata tanpa mengetahui nilai pasti u, v, w.

Jawaban: B