Soal OSNK Matematika SMP No. 7: Bilangan

Bilangan Super Ganjil didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang semua digitnya ganjil. Hasil penjumlahan semua bilangan Super Ganjil yang kurang dari 1000 adalah .... 

A. 45130 
B. 55250 
C. 60125 
D. 70775

Pembahasan Soal Matematika: Bilangan Super Ganjil

Bilangan Super Ganjil didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang semua digit penyusunnya adalah angka ganjil. Angka ganjil yang bisa digunakan adalah {1, 3, 5, 7, 9}. Karena kita mencari bilangan yang kurang dari 1000, maka kita harus menghitung hasil penjumlahan untuk bilangan 1 digit, 2 digit, dan 3 digit.

1. Bilangan 1 Digit

Ada 5 bilangan, yaitu 1, 3, 5, 7, dan 9.

• Jumlahnya: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

2. Bilangan 2 Digit (Puluhan)

Bentuk bilangannya adalah AB, di mana A dan B diambil dari {1, 3, 5, 7, 9}.

• Total bilangan: 5 × 5 = 25 bilangan.
• Nilai Puluhan (A): Muncul di posisi puluhan sebanyak 5 kali.
  Jumlah nilai puluhan: 10 × 5 × (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 50 × 25 = 1250
• Nilai Satuan (B): Muncul di posisi satuan sebanyak 5 kali.
  Jumlah nilai satuan: 1 × 5 × (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 5 × 25 = 125
• Total Penjumlahan 2 digit: 1250 + 125 = 1375

3. Bilangan 3 Digit (Ratusan)

Bentuk bilangannya adalah ABC, di mana A, B, dan C diambil dari {1, 3, 5, 7, 9}.

• Total bilangan: 5 × 5 × 5 = 125 bilangan.
• Nilai Ratusan (A): Muncul di posisi ratusan sebanyak 25 kali.
  Jumlah nilai ratusan: 100 × 25 × (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 2500 × 25 = 62500
• Nilai Puluhan (B): Muncul di posisi puluhan sebanyak 25 kali.
  Jumlah nilai puluhan: 10 × 25 × (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 250 × 25 = 6250
• Nilai Satuan (C): Muncul di posisi satuan sebanyak 25 kali.
  Jumlah nilai satuan: 1 × 25 × (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 25 × 25 = 625
• Total Penjumlahan 3 digit: 62500 + 6250 + 625 = 69375

Total Keseluruhan

Menjumlahkan hasil dari ketiga kelompok tadi:

Total = Sum(1 digit) + Sum(2 digit) + Sum(3 digit)
Total = 25 + 1375 + 69375
Total = 70775

Jadi, hasil penjumlahan semua bilangan Super Ganjil yang kurang dari 1000 adalah:

D. 70775

Soal Latihan

1. Bilangan "Genap Murni" didefinisikan sebagai bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang semua digitnya adalah angka genap tak nol (2, 4, 6, 8). Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan Genap Murni tersebut?

1. 36.420
2. 35.520
3. 34.220
4. 38.450

Jawaban: A
Himpunan digit yang diizinkan adalah {2, 4, 6, 8}. Jumlah digit-digit ini = 20.
- 1 Digit: 2 + 4 + 6 + 8 = 20
- 2 Digit: Ada 4x4 = 16 bilangan. Tiap angka muncul 4 kali di posisi puluhan dan 4 kali di posisi satuan.
Jumlah = 4(20)x10 + 4(20)x1 = 800 + 80 = 880
- 3 Digit: Ada 4x4x4 = 64 bilangan. Tiap angka muncul 16 kali di tiap posisi.
Jumlah = 16(20)x100 + 16(20)x10 + 16(20)x1 = 32000 + 3200 + 320 = 35.520
Total Keseluruhan = 20 + 880 + 35.520 = 36.420.

2. Bilangan "Prima Digit" adalah bilangan bulat positif 2 angka (puluhan) yang semua digitnya merupakan bilangan prima (2, 3, 5, 7). Berapakah jumlah dari seluruh bilangan Prima Digit tersebut?

1. 680
2. 748
3. 812
4. 942

Jawaban: B
Himpunan digit prima adalah {2, 3, 5, 7}. Jumlah angka = 17.
Karena kita mencari bilangan 2 angka, maka bilangan berbentuk AB di mana A dan B berasal dari himpunan di atas.
Total kombinasi = 4 x 4 = 16 bilangan.
Tiap angka prima muncul tepat 4 kali di posisi puluhan dan 4 kali di posisi satuan.
Jumlah Puluhan = 4 x 17 x 10 = 680
Jumlah Satuan = 4 x 17 x 1 = 68
Total Keseluruhan = 680 + 68 = 748.

3. Bilangan "Selang-Seling" didefinisikan sebagai bilangan dua angka di mana digit puluhan adalah angka ganjil dan digit satuannya adalah angka genap (termasuk 0). Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan ini?

1. 1.250
2. 1.300
3. 1.350
4. 1.450

Jawaban: C
- Digit Puluhan (Ganjil): {1, 3, 5, 7, 9} (Jumlah = 25). Ada 5 kemungkinan.
- Digit Satuan (Genap): {0, 2, 4, 6, 8} (Jumlah = 20). Ada 5 kemungkinan.
Total bilangan yang dapat dibentuk = 5 x 5 = 25 bilangan.
Tiap digit ganjil akan dipasangkan dengan 5 digit genap (muncul 5 kali di posisi puluhan).
Tiap digit genap akan dipasangkan dengan 5 digit ganjil (muncul 5 kali di posisi satuan).
Jumlah Nilai Puluhan = 5 x 25 x 10 = 1.250
Jumlah Nilai Satuan = 5 x 20 x 1 = 100
Total Keseluruhan = 1.250 + 100 = 1.350.

4. Berapakah jumlah semua bilangan bulat positif tiga angka yang hanya terdiri dari kombinasi digit 1 dan 2?

1. 1.110
2. 1.332
3. 1.442
4. 2.664

Jawaban: B
Himpunan digit adalah {1, 2}. Jumlah angka = 3.
Banyaknya bilangan tiga angka yang bisa dibuat = 2 x 2 x 2 = 8 bilangan.
Dalam 8 bilangan tersebut, angka 1 dan 2 masing-masing akan menempati posisi ratusan, puluhan, dan satuan sebanyak 8/2 = 4 kali.
- Jumlah nilai ratusan: 4(3) x 100 = 1.200
- Jumlah nilai puluhan: 4(3) x 10 = 120
- Jumlah nilai satuan: 4(3) x 1 = 12
Total Keseluruhan = 1.200 + 120 + 12 = 1.332.

5. Bilangan "Kuadrat Digit" adalah bilangan dua angka yang masing-masing digitnya merupakan bilangan kuadrat sempurna tak nol (yaitu 1, 4, atau 9). Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan Kuadrat Digit ini?

1. 342
2. 420
3. 462
4. 512

Jawaban: C
Himpunan digit yang memenuhi syarat adalah {1, 4, 9}. Jumlah angka = 14.
Jumlah kombinasi bilangan dua angka = 3 x 3 = 9 bilangan.
Setiap angka (1, 4, 9) akan menempati posisi puluhan sebanyak 3 kali, dan posisi satuan sebanyak 3 kali.
- Jumlah nilai puluhan: 3(14) x 10 = 420
- Jumlah nilai satuan: 3(14) x 1 = 42
Total Keseluruhan = 420 + 42 = 462.