Soal OSNK Matematika SMP No. 6: Pola Barisan Huruf

Berikut ini adalah barisan bilangan bulat positif berurutan dari 1 sampai 10 yang ditulis dengan aturan yang menggunakan hanya huruf A, B, dan C saja. A, AB, AC, AA, ABB, ABC, ABA, ACB, ACC, ACA. Jika aturan tersebut digunakan untuk menuliskan seluruh bilangan bulat positif, maka nilai dari ABAB ditambah ACAC adalah .... 

A. ABCCC 

B. ABCBB 

C. ABCAC 

D. ABCAB

💡 Pembahasan Soal: Pola Barisan Huruf A, B, C

Soal ini terlihat menjebak karena menggunakan huruf, tetapi sebenarnya kita sedang berhadapan dengan sistem bilangan berbasis 3 (terner) yang dimodifikasi. Mari kita bedah polanya langkah demi langkah!

🔍 Langkah 1: Menemukan Pola Rumus

Jika kita perhatikan barisannya, setiap satu kata akan menghasilkan 3 kata baru di putaran selanjutnya dengan cara menambahkan huruf B, C, dan A (secara berurutan) di belakangnya.

Mari kita rumuskan polanya. Jika nilai dari suatu string/huruf adalah $n$, maka saat kita menambahkan huruf baru di belakangnya, nilainya menjadi:

• Ditambah B nilainya menjadi: 3n - 1
• Ditambah C nilainya menjadi: 3n
• Ditambah A nilainya menjadi: 3n + 1

(Pembuktian: Nilai A adalah 1. Maka AB = 3(1)-1 = 2. AC = 3(1) = 3. AA = 3(1)+1 = 4. Rumus terbukti benar sesuai soal).

🧮 Langkah 2: Menghitung Nilai ABAB dan ACAC

Sekarang kita ubah kedua kata pada soal menjadi angka menggunakan rumus di atas.

Nilai untuk ABAB:

• A = 1
• AB = 3(1) - 1 = 2
• ABA = 3(2) + 1 = 7
• ABAB = 3(7) - 1 = 20

Jadi, nilai ABAB adalah 20.

Nilai untuk ACAC:

• A = 1
• AC = 3(1) = 3
• ACA = 3(3) + 1 = 10
• ACAC = 3(10) = 30

Jadi, nilai ACAC adalah 30.

🔄 Langkah 3: Menjumlahkan dan Mengubah Kembali

Total penjumlahannya adalah: 20 + 30 = 50

Sekarang, kita ubah angka 50 kembali ke bentuk huruf. Caranya dengan membagi angka tersebut dengan 3 secara berulang dan melihat sisanya (modulo).

• Jika dibagi 3 sisa 2 , maka huruf terakhirnya adalah B, lalu tambahkan 1 dan bagi 3 untuk mencari huruf depannya.
• Jika dibagi 3 sisa 0 (habis dibagi), huruf terakhirnya adalah C, lalu bagi 3.
• Jika dibagi 3 sisa 1, huruf terakhirnya adalah A, lalu kurangi 1 dan bagi 3.

Mari kita urutkan dari belakang untuk angka 50:

1. 50 dibagi 3 sisa 2. Huruf terakhir: B. (selanjutnya: (50+1)/3 = 17)
2. 17 dibagi 3 sisa 2. Huruf sebelumnya: B. (selanjutnya (17+1)/3 = 6)
3. 6 dibagi 3 sisa 0. Huruf sebelumnya: C. (selanjutnya: 6/3 = 2)
4. 2 dibagi 3 sisa 2. Huruf sebelumnya: B. (selanjutnya: (2+1)/3 = 1)
5. 1 adalah akar awal, yang bernilai: A.

Jika dibaca dari langkah terakhir (akar) ke awal, urutannya adalah: ABCBB.

Berdasarkan perhitungan di atas, jawaban yang benar adalah
B. ABCBB