Soal OSNK Matematika SMP No. 6: Pola Barisan Huruf

Berikut ini adalah barisan bilangan bulat positif berurutan dari 1 sampai 10 yang ditulis dengan aturan yang menggunakan hanya huruf A, B, dan C saja. A, AB, AC, AA, ABB, ABC, ABA, ACB, ACC, ACA. Jika aturan tersebut digunakan untuk menuliskan seluruh bilangan bulat positif, maka nilai dari ABAB ditambah ACAC adalah .... 

A. ABCCC 

B. ABCBB 

C. ABCAC 

D. ABCAB

💡 Pembahasan Soal: Pola Barisan Huruf A, B, C

Soal ini terlihat menjebak karena menggunakan huruf, tetapi sebenarnya kita sedang berhadapan dengan sistem bilangan berbasis 3 (terner) yang dimodifikasi. Mari kita bedah polanya langkah demi langkah!

🔍 Langkah 1: Menemukan Pola Rumus

Jika kita perhatikan barisannya, setiap satu kata akan menghasilkan 3 kata baru di putaran selanjutnya dengan cara menambahkan huruf B, C, dan A (secara berurutan) di belakangnya.

Mari kita rumuskan polanya. Jika nilai dari suatu string/huruf adalah $n$, maka saat kita menambahkan huruf baru di belakangnya, nilainya menjadi:

• Ditambah B nilainya menjadi: 3n - 1
• Ditambah C nilainya menjadi: 3n
• Ditambah A nilainya menjadi: 3n + 1

(Pembuktian: Nilai A adalah 1. Maka AB = 3(1)-1 = 2. AC = 3(1) = 3. AA = 3(1)+1 = 4. Rumus terbukti benar sesuai soal).

🧮 Langkah 2: Menghitung Nilai ABAB dan ACAC

Sekarang kita ubah kedua kata pada soal menjadi angka menggunakan rumus di atas.

Nilai untuk ABAB:

• A = 1
• AB = 3(1) - 1 = 2
• ABA = 3(2) + 1 = 7
• ABAB = 3(7) - 1 = 20

Jadi, nilai ABAB adalah 20.

Nilai untuk ACAC:

• A = 1
• AC = 3(1) = 3
• ACA = 3(3) + 1 = 10
• ACAC = 3(10) = 30

Jadi, nilai ACAC adalah 30.

🔄 Langkah 3: Menjumlahkan dan Mengubah Kembali

Total penjumlahannya adalah: 20 + 30 = 50

Sekarang, kita ubah angka 50 kembali ke bentuk huruf. Caranya dengan membagi angka tersebut dengan 3 secara berulang dan melihat sisanya (modulo).

• Jika dibagi 3 sisa 2 , maka huruf terakhirnya adalah B, lalu tambahkan 1 dan bagi 3 untuk mencari huruf depannya.
• Jika dibagi 3 sisa 0 (habis dibagi), huruf terakhirnya adalah C, lalu bagi 3.
• Jika dibagi 3 sisa 1, huruf terakhirnya adalah A, lalu kurangi 1 dan bagi 3.

Mari kita urutkan dari belakang untuk angka 50:

1. 50 dibagi 3 sisa 2. Huruf terakhir: B. (selanjutnya: (50+1)/3 = 17)
2. 17 dibagi 3 sisa 2. Huruf sebelumnya: B. (selanjutnya (17+1)/3 = 6)
3. 6 dibagi 3 sisa 0. Huruf sebelumnya: C. (selanjutnya: 6/3 = 2)
4. 2 dibagi 3 sisa 2. Huruf sebelumnya: B. (selanjutnya: (2+1)/3 = 1)
5. 1 adalah akar awal, yang bernilai: A.

Jika dibaca dari langkah terakhir (akar) ke awal, urutannya adalah: ABCBB.

Berdasarkan perhitungan di atas, jawaban yang benar adalah
B. ABCBB

5 Latihan Soal Pola Bilangan Huruf dan Sistem Basis

Berikut adalah kumpulan soal latihan mengenai pola bilangan yang menggunakan huruf beserta pembahasannya. Klik tombol Lihat Pembahasan untuk mengecek jawaban Anda.

---

Soal 1: Pola Serupa (Awalan Konstan dengan Basis 3)

Sebuah barisan bilangan bulat positif ditulis menggunakan huruf X, Y, dan Z dengan aturan berikut: X, XY, XZ, XX, XYY, XYZ, XYX, XZY, XZZ, XZX, ... dan seterusnya. Jika aturan ini digunakan untuk menuliskan seluruh bilangan bulat positif, maka hasil penjumlahan dari bilangan XZXY dan XXYZ adalah ....

A. XXZY
B. XYXZY
C. XYYXX
D. XZZXY

Lihat Pembahasan

Pembahasan:

• Semua bilangan diawali dengan huruf X. Karakter sisanya mengikuti sistem basis 3 dengan nilai: Y = 0, Z = 1, X = 2.
• Jumlah string untuk setiap panjang: panjang 1 ada 1, panjang 2 ada 3, panjang 3 ada 9, panjang 4 ada 27, dst.
• Menghitung nilai XZXY (panjang 4):
  • Sisa karakternya: ZXY. Nilainya = 1(3²) + 2(3¹) + 0(3⁰) = 9 + 6 + 0 = 15.
  • Total urutan = (semua string sebelum panjang 4) + 15 + 1 = 13 + 15 + 1 = 29.
• Menghitung nilai XXYZ (panjang 4):
  • Sisa karakternya: XYZ. Nilainya = 2(3²) + 0(3¹) + 1(3⁰) = 18 + 0 + 1 = 19.
  • Total urutan = 13 + 19 + 1 = 33.
• Hasil penjumlahan = 29 + 33 = 62.
• Mengubah urutan ke-62 kembali ke huruf:
  • Jumlah string sebelum panjang 5 adalah 1 + 3 + 9 + 27 = 40. Karena 62 > 40, jawabannya memiliki panjang 5 (awalan X + 4 karakter).
  • Urutan di dalam kelompok panjang 5 adalah 62 - 40 = 22.
  • Nilai basis 3-nya = 22 - 1 = 21.
  • 21 dalam basis 3 (4 digit) = 0210₃.
  • Terjemahan huruf (Y=0, Z=1, X=2): Y X Z Y.
  • Gabungkan dengan awalan X: XYXZY.

Jawaban: B

---

Soal 2: Sistem Bijektif Basis 2

Bilangan asli diurutkan menggunakan alfabet P dan Q saja dengan pola: P, Q, PP, PQ, QP, QQ, PPP, PPQ... dan seterusnya (P=1, Q=2). Nilai dari QQP + PQP dalam sistem tulisan ini adalah ....

A. PQQP
B. PPPP
C. PQQQ
D. QPPP

Lihat Pembahasan

Pembahasan:

1. Ini adalah sistem bilangan bijektif basis 2, di mana P = 1 dan Q = 2.
2. Nilai dari QQP:
   = Q(2²) + Q(2¹) + P(2⁰) = 2(4) + 2(2) + 1(1) = 8 + 4 + 1 = 13.
3. Nilai dari PQP:
   = P(2²) + Q(2¹) + P(2⁰) = 1(4) + 2(2) + 1(1) = 4 + 4 + 1 = 9.
4. Penjumlahan: 13 + 9 = 22.
5. Konversi 22 ke dalam huruf P dan Q (dibagi 2 berulang kali dengan sisa disesuaikan menjadi 1 atau 2):
   • 22 ÷ 2 = 10 sisa 2 (Q) → (Karena genap/sisa 0, kita pinjam agar sisa menjadi 2, dan hasil bagi dikurang 1).
   • 10 ÷ 2 = 4 sisa 2 (Q)
   • 4 ÷ 2 = 1 sisa 2 (Q)
   • 1 ÷ 2 = 0 sisa 1 (P)
6. Baca sisa dari bawah ke atas: PQQQ.

Jawaban: C

---

Soal 3: Sistem Bijektif Basis 3

Terdapat barisan bilangan bulat yang dibentuk dari huruf K, L, dan M secara berurutan: K, L, M, KK, KL, KM, LK, LL, LM, MK, ... dan seterusnya. Jika operasi penjumlahan diizinkan untuk barisan ini, hasil dari LMK + KLL adalah ....

A. KKLM
B. KLMM
C. KMLK
D. LKKM

Lihat Pembahasan

Pembahasan:

1. Ini adalah sistem bilangan bijektif basis 3, dengan nilai K = 1, L = 2, M = 3.
2. Nilai dari LMK:
   = L(3²) + M(3¹) + K(3⁰) = 2(9) + 3(3) + 1(1) = 18 + 9 + 1 = 28.
3. Nilai dari KLL:
   = K(3²) + L(3¹) + L(3⁰) = 1(9) + 2(3) + 2(1) = 9 + 6 + 2 = 17.
4. Hasil penjumlahan = 28 + 17 = 45.
5. Ubah 45 ke dalam bentuk huruf (pembagian bijektif basis 3):
   • 45 ÷ 3 = 14 sisa 3 (M) → (Karena habis dibagi, pinjam 1 dari hasil bagi agar sisa menjadi 3).
   • 14 ÷ 3 = 4 sisa 2 (L)
   • 4 ÷ 3 = 1 sisa 1 (K)
   • 1 ÷ 3 = 0 sisa 1 (K)
6. Susun sisa dari bawah ke atas: KKLM.

Jawaban: A

---

Soal 4: Operasi Pengurangan

Menggunakan pola bilangan yang diawali huruf konstan (A, AB, AC, AA, ABB, ABC, ABA, ACB...), tentukanlah hasil operasi pengurangan dari bilangan ABCBA dikurangi ACAB!

A. ACAB
B. ACCB
C. ACBB
D. ABAC

Lihat Pembahasan

Pembahasan:

1. Aturan utamanya: Awalan selalu 'A', sisa karakter adalah basis 3 (B=0, C=1, A=2).
2. Menghitung ABCBA (panjang 5):
   • Karakter sisa BCBA = 0(27) + 1(9) + 0(3) + 2(1) = 11.
   • Jumlah bilangan sebelum panjang 5 = 1 + 3 + 9 + 27 = 40.
   • Nilai ABCBA = 40 + 11 + 1 = 52.
3. Menghitung ACAB (panjang 4):
   • Karakter sisa CAB = 1(9) + 2(3) + 0(1) = 15.
   • Jumlah bilangan sebelum panjang 4 = 1 + 3 + 9 = 13.
   • Nilai ACAB = 13 + 15 + 1 = 29.
4. Hasil pengurangan = 52 - 29 = 23.
5. Mengembalikan nilai 23 menjadi huruf:
   • Angka 23 berada di kelompok panjang 4 (interval urutan ke 14 hingga 40).
   • Posisinya di dalam kelompok tersebut = 23 - 13 = 10.
   • Nilai basis 3-nya = 10 - 1 = 9.
   • 9 dalam basis 3 (3 digit) = 100₃.
   • Terjemahan 100₃ (B=0, C=1, A=2): C B B.
   • Gabungkan dengan awalan A: ACBB.

Jawaban: C

---

Soal 5: Sistem Bijektif Basis 4

Untuk merahasiakan jumlah stok barang, sebuah toko menuliskan angkanya dengan huruf D, E, F, dan G. Urutan angkanya adalah: D(1), E(2), F(3), G(4), DD(5), DE(6), DF(7), DG(8), ED(9), ... Jika hari ini masuk barang tambahan sebanyak GDE dan stok awal adalah EFG, berapakah total stok sekarang menurut sistem huruf tersebut?

A. DFEG
B. DFDE
C. EFGD
D. DDFG

Lihat Pembahasan

Pembahasan:

1. Ini merupakan bijektif basis 4, dengan nilai: D = 1, E = 2, F = 3, G = 4.
2. Nilai stok awal EFG:
   = E(4²) + F(4¹) + G(4⁰) = 2(16) + 3(4) + 4(1) = 32 + 12 + 4 = 48.
3. Nilai tambahan GDE:
   = G(4²) + D(4¹) + E(4⁰) = 4(16) + 1(4) + 2(1) = 64 + 4 + 2 = 70.
4. Total jumlah = 48 + 70 = 118.
5. Konversi 118 ke bijektif basis 4 (dibagi 4 berulang, jika sisa 0 sesuaikan menjadi 4):
   • 118 ÷ 4 = 29 sisa 2 (E)
   • 29 ÷ 4 = 7 sisa 1 (D)
   • 7 ÷ 4 = 1 sisa 3 (F)
   • 1 ÷ 4 = 0 sisa 1 (D)
6. Baca sisa dari pembagian terakhir ke awal: DFDE.

Jawaban: B