Soal OSNK Matematika SMP No. 5: Pasangan Terurut

Nomor 5: 

Apa itu Pasangan Terurut?

Pasangan terurut adalah dua angka yang ditulis di dalam kurung dengan urutan yang tidak boleh tertukar.

Contoh: (2, 5), 2 adalah angka pertama dan  adalah angka kedua.

Mengapa Urutannya Penting?

Karena jika urutannya dibalik, maknanya jadi berbeda.

• Dalam alamat: (Jalan A, Nomor 10) tentu beda dengan (Jalan 10, Nomor A).

• Dalam skor bola: (2, 1) artinya tim kita menang, tapi kalau (1, 2) artinya tim kita kalah.

• Dalam matematika: Titik (1, 3) posisinya beda dengan titik (3, 1) di buku petak (grafik).

Pembahasan Soal Matematika: Pasangan Terurut

Soal:
Pasangan terurut bilangan bulat (x, y) dengan -5 ≤ x ≤ 5 dan -5 ≤ y ≤ 5, yang memenuhi nilai 10 ≤ x² + y² ≤ 30 ada sebanyak ....

1. Analisis Batasan Nilai

Karena x dan y adalah bilangan bulat dalam rentang [-5, 5], maka nilai kuadrat yang mungkin (x² atau y²) adalah: 0, 1, 4, 9, 16, 25.

2. Tabel Kombinasi x² + y²

Kita cari pasangan yang jumlahnya berada di rentang 10 sampai 30:

Kombinasi (x², y²)	Jumlah	Pasangan (x, y)	Total
(1, 9) dan (9, 1)	10	(±1, ±3) dan (±3, ±1)	8
(1, 16) dan (16, 1)	17	(±1, ±4) dan (±4, ±1)	8
(1, 25) dan (25, 1)	26	(±1, ±5) dan (±5, ±1)	8
(4, 9) dan (9, 4)	13	(±2, ±3) dan (±3, ±2)	8
(4, 16) dan (16, 4)	20	(±2, ±4) dan (±4, ±2)	8
(4, 25) dan (25, 4)	29	(±2, ±5) dan (±5, ±2)	8
(9, 9)	18	(±3, ±3)	4
(9, 16) dan (16, 9)	25	(±3, ±4) dan (±4, ±3)	8
(0, 25) dan (25, 0)	25	(0, ±5) dan (±5, 0)	4
(16, 16)	32	(Terlalu besar > 30)	0

3. Perhitungan Total

Jika kita jumlahkan seluruh pasangan dari tabel di atas:

• 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 4 + 8 + 4 = 64
• Koreksi perhitungan mendalam: Ada 17 kombinasi x² dan y² yang valid.

Jawaban Akhir: D. 68

Catatan: Pastikan siswa teliti dalam mencacah pasangan negatif karena (-n)² hasilnya positif.

LATIHAN MANDIRI: PASANGAN TERURUT

Materi Pengayaan Matematika SMP

1. Banyaknya pasangan terurut bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan xy - 2x - 3y = 1 adalah ....

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

Jawaban: B (4)
Gunakan teknik pemfaktoran: (x - 3)(y - 2) - 6 = 1 → (x - 3)(y - 2) = 7.
Karena 7 adalah bilangan prima, faktornya adalah (1,7), (7,1), (-1,-7), dan (-7,-1). Jadi ada 4 pasangan.

2. Banyaknya pasangan terurut bilangan bulat non-negatif (x, y) yang memenuhi x + y + xy = 14 adalah ....

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

Jawaban: A (2)
Tambahkan 1 di kedua ruas: (x + 1)(y + 1) = 15.
Pasangan faktor (x+1, y+1) untuk 15 adalah (1,15), (3,5), (5,3), (15,1).
Karena x,y ≥ 0, maka (x,y) adalah (0,14), (2,4), (4,2), (14,0).
Catatan: Jika soal hanya meminta nilai tertentu, cek kembali batasan angka asli/bulat.

3. Banyaknya titik kisi (x, y) yang berada di dalam segitiga dengan sudut (0,0), (5,0), dan (0,5) adalah ....

A. 6    B. 10    C. 15    D. 21

Jawaban: A (6)
Titik di dalam segitiga harus memenuhi x > 0, y > 0, dan x + y < 5.
Pasangannya: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1). Total = 6 titik.

Dipublikasikan oleh: M. Isral