A. 240
B. 300
C. 492
D. 926
Pembahasan Soal: Barisan Aritmetika Bilangan Prima
Soal:
Enam bilangan prima yang kurang dari 160 membentuk barisan aritmetika dengan beda lebih dari 1. Jumlah keenam bilangan tersebut adalah ....
A. 240
B. 300
C. 492
D. 926
1. Analisis Syarat Barisan
Kita diminta mencari enam bilangan prima yang membentuk barisan aritmetika dengan beda (selisih) lebih dari 1, dan semua sukunya kurang dari 160.
Berdasarkan prinsip teori bilangan, jika ada k bilangan prima yang membentuk barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut (b) harus berupa kelipatan dari semua bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan k, kecuali jika suku pertamanya adalah salah satu dari bilangan prima itu sendiri.
Dalam soal ini, kita mencari 6 bilangan (k = 6). Bilangan prima yang ≤ 6 adalah 2, 3, dan 5. Oleh karena itu, beda barisan (b) haruslah kelipatan dari perkalian bilangan-bilangan tersebut:
2. Mencari Suku Pertama (a)
Kita uji beberapa bilangan prima sebagai suku pertama (a) dengan beda b = 30:
- Jika a = 2 → 2, 32 (32 bukan prima, Gagal)
- Jika a = 3 → 3, 33 (33 bukan prima, Gagal)
- Jika a = 5 → 5, 35 (35 bukan prima, Gagal)
- Jika a = 7 → 7, 37, 67, 97, 127, 157
Mari kita verifikasi barisan dengan suku awal 7:
- 7 (Prima)
- 37 (Prima)
- 67 (Prima)
- 97 (Prima)
- 127 (Prima, tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, atau 11)
- 157 (Prima, tidak habis dibagi bilangan prima hingga √157 ≈ 12)
Keenam bilangan ini semuanya prima dan kurang dari 160. Barisan ini tepat dan memenuhi seluruh kriteria soal.
3. Menghitung Jumlah Keenam Bilangan
Langkah terakhir adalah menjumlahkan seluruh suku pada barisan tersebut. Kita bisa menggunakan rumus jumlah deret aritmetika:
Maka untuk 6 suku:
S6 = 3 (164)
S6 = 492
Latihan Pengayaan: Barisan Aritmetika Bilangan Prima
Selesaikan soal-soal di bawah ini untuk menguji pemahaman konsep bilangan prima dan barisan.
1. Tiga buah bilangan prima berbeda membentuk barisan aritmetika dengan beda 6. Jika semua bilangan tersebut kurang dari 25, maka jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ....
A. 33 B. 39 C. 45 D. 51
2. Diketahui empat buah bilangan prima membentuk barisan aritmetika dengan beda 6. Jika suku pertamanya adalah 11, maka suku keempat dari barisan tersebut adalah ....
A. 23 B. 29 C. 31 D. 37
3. Lima buah bilangan prima membentuk barisan aritmetika dengan beda 12. Jika suku terkecilnya adalah 5, maka jumlah kelima bilangan prima tersebut adalah ....
A. 135 B. 145 C. 155 D. 175
4. Tiga buah bilangan prima p, q, r memenuhi p < q < r dan membentuk barisan aritmetika dengan beda 10. Nilai terkecil dari p + q + r adalah ....
A. 33 B. 39 C. 45 D. 51
5. Barisan aritmetika terdiri dari enam bilangan prima dengan beda 30. Jika suku kelima adalah 127, maka suku pertama adalah ....
A. 7 B. 11 C. 13 D. 17
Disusun oleh:
M. Isral, S.Pd.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar