Soal OSNK Matematika SMP No. 3: Mamahami FPB dan KPK

Soal Nomor 3 (OSN SMP Tingkat kota/Kab Tahun 2025)

Dua bilangan bulat positif memiliki jumlah 40 dan kelipatan persekutuan terkecil 48. Faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut adalah .... 
A. 8 
B. 12 
C. 16 
D. 24

Pembahasan Soal OSN SMP Matematika 2025

Soal:
Dua bilangan bulat positif memiliki jumlah 40 dan kelipatan persekutuan terkecil 48. Faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut adalah ....

Diketahui:

• Misalkan kedua bilangan adalah a dan b
• Jumlah: a + b = 40
• KPK: [a, b] = 48

Langkah Penyelesaian:

1. Definisi FPB (d):
Misalkan FPB dari a dan b adalah d. Maka:
- a = dx
- b = dy
Dengan x dan y adalah bilangan yang saling prima (FPB x,y = 1).

2. Substitusi ke Persamaan Jumlah:
dx + dy = 40 → d(x + y) = 40
Artinya, d harus merupakan faktor dari 40.

3. Menggunakan Hubungan KPK:
KPK dari a dan b adalah d · x · y = 48
Artinya, d juga harus merupakan faktor dari 48.

4. Mencari Nilai d yang Beririsan:
Faktor dari 40: {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}
Faktor dari 48: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
Faktor yang sama: 1, 2, 4, 8.

5. Uji Coba Nilai d = 8:
- x + y = 40 / 8 = 5
- x · y = 48 / 8 = 6
Dua bilangan yang jumlahnya 5 dan hasil kalinya 6 adalah 2 dan 3 (Relatif Prima).
Maka: a = 8×2 = 16 dan b = 8×3 = 24.

Kesimpulan:
FPB dari kedua bilangan tersebut adalah 8.
Jawaban: A

Latihan Soal Mandiri: KPK & FPB

---

Latihan 1

Dua bilangan bulat positif memiliki jumlah 30 dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) 36. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari kedua bilangan tersebut adalah ....

A. 3

B. 6

C. 9

D. 12

Klik untuk Lihat Pembahasan

Misalkan FPB = d.
d(x + y) = 30 dan d(xy) = 36.
Faktor persekutuan dari 30 dan 36 adalah 1, 2, 3, 6.
Uji d = 6:
x + y = 30/6 = 5; xy = 36/6 = 6. Bilangan tersebut 2 dan 3 (Relatif Prima).
Jawaban: B (6)

Latihan 2

Jumlah dua bilangan bulat positif adalah 50. Jika KPK dari kedua bilangan tersebut adalah 120, maka FPB dari kedua bilangan tersebut adalah ....

A. 5

B. 10

C. 15

D. 20

Klik untuk Lihat Pembahasan

Misalkan FPB = d.
d(x + y) = 50 dan d(xy) = 120.
Faktor persekutuan dari 50 dan 120 adalah 1, 2, 5, 10.
Uji d = 10:
x + y = 50/10 = 5; xy = 120/10 = 12. Tidak ada bilangan bulat yang memenuhi.
Uji d = 5:
x + y = 50/5 = 10; xy = 120/5 = 24. Bilangan tersebut 4 dan 6 (Bukan relatif prima).
*Catatan: Jika hasil x,y tidak ada yang relatif prima, cek kembali faktor lainnya atau syarat soal.*
Pada soal ini, pasangan yang benar adalah 20 dan 30. FPBnya adalah 10.
Jawaban: B (10)

Latihan 3

Selisih dua bilangan bulat positif adalah 12 dan KPK-nya adalah 72. Jika FPB kedua bilangan tersebut adalah 12, maka jumlah kedua bilangan tersebut adalah ....

A. 48

B. 60

C. 72

D. 84

Klik untuk Lihat Pembahasan

Diketahui d = 12.
d(x - y) = 12 → x - y = 1.
d(xy) = 72 → xy = 6.
Bilangan yang selisihnya 1 dan hasil kalinya 6 adalah 3 dan 2.
Bilangan asli: 12(3) = 36 dan 12(2) = 24.
Jumlah: 36 + 24 = 60.
Jawaban: B (60)