Soal OSNK Matematika SMP No. 2: Operasi Bilangan Berpangkat

Soal OSN Matematika SMP tingkat Kota/Kab Tahun 2025 tentang Operasi Bilangan Berpangkat. "Tujuan pembelajaran ini adalah agar siswa mampu memahami konsep pangkat bilangan negatif dan operasi hitung campuran, serta mahir dalam melakukan substitusi variabel ke dalam bentuk pecahan aljabar yang melibatkan penarikan akar kuadrat secara akurat."

Soal Nomor 2: Operasi Bilangan Berpangkat

Jika nilai a ditentukan oleh persamaan berikut:

a = [(-1)⁴ × 4 + (-1)³ × 3 + (-1)² × 2 + (-1)¹ × 1] / 2³

Maka tentukan nilai dari:

(a + √a) / (a - √a)

• A. -3
• B. -1/3
• C. 1/3
• D. 3

---

Pembahasan Lengkap

Langkah 1: Mencari Nilai a

Pertama, kita selesaikan pembilang dengan menghitung pangkat bilangan negatif:

• (-1)⁴ = 1 (pangkat genap = positif)
• (-1)³ = -1 (pangkat ganjil = negatif)
• (-1)² = 1
• (-1)¹ = -1

Substitusikan ke pembilang:

(1 × 4) + (-1 × 3) + (1 × 2) + (-1 × 1) = 4 - 3 + 2 - 1 = 2

Kemudian hitung penyebutnya:

2³ = 8

Maka, nilai a = 2/8 = 1/4.

Langkah 2: Menghitung Ekspresi Akhir

Kita ketahui a = 1/4, maka √a = 1/2. Masukkan ke dalam persamaan:

(1/4 + 1/2) / (1/4 - 1/2)

Samakan penyebut (1/2 menjadi 2/4):

(1/4 + 2/4) / (1/4 - 2/4) = (3/4) / (-1/4)

Coret penyebut 4, sehingga tersisa:

3 / -1 = -3

Jawaban Akhir: A (-3)

CONTOH SOAL

Jika diketahui persamaan untuk nilai \( a \) adalah sebagai berikut:

$$a = \frac{(-1)^2 \cdot 2 + (-1)^1 \cdot 1}{3^2}$$

Berapakah hasil dari nilai ekspresi di bawah ini?

$$\frac{a + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a}}$$

A. -2

B. -1

C. 2

D. 3

Pembahasan

Langkah 1: Menentukan Nilai \( a \) $$a = \frac{(1 \cdot 2) + (-1 \cdot 1)}{9}$$ $$a = \frac{2 - 1}{9} = \frac{1}{9}$$ Langkah 2: Menentukan Nilai \( \sqrt{a} \) $$\sqrt{a} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ Langkah 3: Substitusi ke Rumus Utama $$\frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{9} - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{3}{9}}{\frac{1}{9} - \frac{3}{9}}$$ $$\frac{\frac{4}{9}}{-\frac{2}{9}} = \frac{4}{-2} = -2$$

KUNCI JAWABAN: A