Soal OSNK Matematika SMP No. 11: Barisan Geometri

Diketahui barisan geometri: 80, x, y, z, 3125. Nilai terkecil yang mungkin dari x − y + z adalah .... 

A. −3120 
B. −1950 
C. 480 
D. 950

PEMBAHASAN

Konsep Utama: Barisan Geometri 1. Rumus suku ke-n: U_n = a × r^n-1
2. Jika rasionya berpangkat genap (misal: r⁴ = k), maka nilai r bisa bernilai positif (+) atau negatif (-).

LANGKAH 1: Mencari Rasio

Diketahui: a = 80, U₅ = 3125
3125 = 80 × r^5-1
3125 = 80 × r⁴
r⁴ = 3125 / 80 = 625 / 16
r = ± 2,5

LANGKAH 2: Menentukan Variabel

Nilai	Jika r = 2,5	Jika r = -2,5
x (U2)	200	-200
y (U3)	500	500
z (U4)	1250	-1250

LANGKAH 3: Mencari Nilai Minimum

Kita hitung operasi x − y + z:
• Opsi 1: 200 - 500 + 1250 = 950
• Opsi 2: (-200) - 500 + (-1250) = -1950

Jawaban: B (-1950)

Soal 1
Diketahui barisan geometri: 16, a, b, c, 81. Nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c adalah ....

• -42
• -24
• 42
• 114

Pembahasan:
Suku pertama (U₁) = 16 dan Suku kelima (U₅) = 81.
U₅ = U₁ × r⁴
81 = 16 × r⁴
r⁴ = 81/16
r = ± 3/2

Jika r = 3/2:
a = 24, b = 36, c = 54 → a + b + c = 114
Jika r = -3/2:
a = -24, b = 36, c = -54 → a + b + c = -42

Jadi, nilai terkecilnya adalah -42 (A).

Soal 2
Diketahui barisan geometri: 3, p, q, r, 768. Nilai terkecil yang mungkin dari p - q - r adalah ....

• -228
• -132
• 132
• 228

Pembahasan:
Suku pertama (U₁) = 3 dan Suku kelima (U₅) = 768.
U₅ = U₁ × r⁴
768 = 3 × r⁴
r⁴ = 256
r = ± 4

Jika r = 4:
p = 12, q = 48, r = 192 → p - q - r = 12 - 48 - 192 = -228
Jika r = -4:
p = -12, q = 48, r = -192 → p - q - r = -12 - 48 - (-192) = 132

Jadi, nilai terkecilnya adalah -228 (A).

Soal 3
Diketahui barisan geometri: 5, x, y, z, 405. Nilai terbesar yang mungkin dari x + y - z adalah ....

• -165
• -75
• 75
• 165

Pembahasan:
Suku pertama (U₁) = 5 dan Suku kelima (U₅) = 405.
U₅ = U₁ × r⁴
405 = 5 × r⁴
r⁴ = 81
r = ± 3

Jika r = 3:
x = 15, y = 45, z = 135 → x + y - z = 15 + 45 - 135 = -75
Jika r = -3:
x = -15, y = 45, z = -135 → x + y - z = -15 + 45 - (-135) = 165

Jadi, nilai terbesarnya adalah 165 (D).

Soal 4
Diketahui barisan geometri: 2, m, n, p, 512. Nilai terkecil yang mungkin dari m - n + p adalah ....

• -168
• -104
• 104
• 168

Pembahasan:
Suku pertama (U₁) = 2 dan Suku kelima (U₅) = 512.
U₅ = U₁ × r⁴
512 = 2 × r⁴
r⁴ = 256
r = ± 4

Jika r = 4:
m = 8, n = 32, p = 128 → m - n + p = 8 - 32 + 128 = 104
Jika r = -4:
m = -8, n = 32, p = -128 → m - n + p = -8 - 32 + (-128) = -168

Jadi, nilai terkecilnya adalah -168 (A).

Soal 5
Diketahui barisan geometri turun dan naik bergantian (rasio negatif): 486, k, l, m, 6. Nilai dari k + l + m adalah ....

• -234
• -126
• 126
• 234

Pembahasan:
Suku pertama (U₁) = 486 dan Suku kelima (U₅) = 6.
U₅ = U₁ × r⁴
6 = 486 × r⁴
r⁴ = 6 / 486 = 1/81
r = ± 1/3

Karena di soal disebutkan barisan "turun naik bergantian" (artinya tandanya selang-seling), maka rasionya pasti negatif, yaitu r = -1/3.
k = 486 × (-1/3) = -162
l = -162 × (-1/3) = 54
m = 54 × (-1/3) = -18

Maka k + l + m = -162 + 54 - 18 = -126.

Jadi, nilainya adalah -126 (B).