Soal OSNK Matematika SMP No. 12: Pola Bilangan

Bilangan segi lima ke-n adalah banyaknya titik yang membentuk n segi lima seperti yang diilustrasikan pada gambar berikut.

Bilangan segi lima ke-0 adalah 1, bilangan segi lima ke-1 adalah 5, bilangan segi lima ke-2 adalah 12, dan bilangan segi lima ke-3 adalah 22. Bilangan segi lima yang paling dekat dengan 2025 adalah bilangan segi lima ke-.... 

A. 30 

B. 33 

C. 36 

D. 39

PEMBAHASAN

💡 Konsep Utama

Konsep yang digunakan dalam soal ini adalah Barisan Aritmetika Bertingkat Dua (barisan kuadrat). Ciri khasnya adalah selisih antar suku baru akan konstan pada tingkat kedua.

Rumus umumnya adalah:

U_n = an² + bn + c

Langkah 1: Menentukan Pola Selisih Bilangan

Mari kita susun bilangan berdasarkan urutan (n) yang diberikan:

• n = 0 → 1
• n = 1 → 5
• n = 2 → 12
• n = 3 → 22

Kita cari selisih tingkat pertama dan keduanya:

Barisan:     1     5     12     22
Selisih 1:    +4    +7    +10
Selisih 2:      +3    +3

Karena selisih tingkat keduanya konstan (yaitu 3), terbukti ini adalah barisan aritmetika bertingkat dua.

Langkah 2: Menemukan Rumus Suku ke-n (U_n)

Gunakan rumus U_n = an² + bn + c dan masukkan nilai yang ada:

Untuk n = 0 (Suku ke-0):
a(0)² + b(0) + c = 1 → c = 1

Untuk n = 1 (Suku ke-1):
a(1)² + b(1) + 1 = 5 → a + b = 4 (Persamaan 1)

Untuk n = 2 (Suku ke-2):
a(2)² + b(2) + 1 = 12 → 4a + 2b = 11 (Persamaan 2)

Eliminasi Persamaan 1 dan 2 (Kalikan Persamaan 1 dengan 2):

2a + 2b = 8
4a + 2b = 11
------------ -
-2a = -3 → a = 3/2

Substitusi nilai a ke Persamaan 1 untuk mencari b, didapat b = 5/2.

Jadi, rumus bilangan segi lima ke-n adalah:

U_n = (3n² + 5n + 2) / 2

Langkah 3: Menguji Opsi Jawaban

Kita mencari bilangan yang hasilnya paling mendekati 2025 dengan mensubstitusi opsi ganda ke dalam rumus kita:

• Opsi A (n = 30): U₃₀ = (3(900) + 150 + 2) / 2 = 2852 / 2 = 1426 (Masih jauh)
• Opsi B (n = 33): U₃₃ = (3(1089) + 165 + 2) / 2 = 3434 / 2 = 1717 (Masih jauh)
• Opsi C (n = 36): U₃₆ = (3(1296) + 180 + 2) / 2 = 4070 / 2 = 2035 (Sangat dekat dengan 2025, selisih 10)
• Opsi D (n = 39): U₃₉ = (3(1521) + 195 + 2) / 2 = 4760 / 2 = 2380 (Terlalu jauh)

Kesimpulan: Jawaban yang paling tepat adalah C. 36