Soal OSNK Matematika SMP No. 13: Aljabar

Soal aljabar ini terlihat rumit karena panjangnya fungsi yang diberikan, tapi jika kita jabarkan bentuknya, soal ini bisa diselesaikan dengan sangat elegan menggunakan konsep sifat bilangan berpangkat (ganjil dan genap).

Solusi Soal Matematika

Pertanyaan:

$$f(x) = 2025 + \frac{x+1}{x} + \frac{x^2+2}{x^2} + \dots + \frac{x^{10}+10}{x^{10}}$$

Tentukan nilai dari:

$$f(2) + f(1) - f(-1) - f(-2)$$

A. 0

B. \(\frac{565}{256}\)

C. \(\frac{13365}{256}\)

D. 11430

Langkah Penyelesaian:

1. Sederhanakan Fungsi

Gunakan \(\frac{x^n+n}{x^n} = 1 + \frac{n}{x^n}\). Karena ada 10 suku:

$$f(x) = 2035 + \sum_{n=1}^{10} \frac{n}{x^n}$$

2. Cari Selisih Simetris

Konstanta dan pangkat genap akan hilang saat dikurangi:

$$f(x) - f(-x) = 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{3}{x^3} + \frac{5}{x^5} + \frac{7}{x^7} + \frac{9}{x^9} \right)$$

3. Kalkulasi Akhir

Untuk \(x=1\): \(2(25) = 50\)

Untuk \(x=2\): \(2(\frac{1}{2} + \dots + \frac{9}{512}) = \frac{565}{256}\)

Total Akhir:

$$50 + \frac{565}{256} = \frac{13365}{256}$$

Jawaban Benar: C