A. 122,5
B. 185
C. 262,5
D. 280
Secara konsep, bangun datar berwarna merah tersebut adalah hasil dari Luas Segitiga CDE dikurangi Luas Segitiga FGH. Oleh karena itu, strategi kita adalah mencari dimensi keseluruhan jajar genjang terlebih dahulu, lalu menggunakan sistem koordinat untuk mencari dimensi segitiga yang lebih kecil.
Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian lengkapnya:
Langkah 1: Mencari Nilai x dan Sisi Jajar Genjang
Kita tahu bahwa jajar genjang memiliki sepasang sisi sejajar yang sama panjang (AB = CD dan AD = BC).
- Keliling = $2 \times (AB + BC)$
- 106 = $2 \times ((3x + 1) + (5x - 20))$
- 53 = $8x - 19$
- $8x = 72 \implies x = 9$
Sekarang kita substitusi nilai x = 9 ke panjang sisi yang diketahui:
- Panjang alas AB = $3(9) + 1$ = 27 + 1 = 28 cm. Karena AB sejajar CD, maka CD = 28 cm.
- Tinggi jajar genjang DE = $3(9) - 7$ = 27 - 7 = 20 cm.
Langkah 2: Menghitung Luas Segitiga CDE
Segitiga CDE memiliki alas CD dan tinggi DE (karena $DE \perp AB$ dan $AB \parallel CD$, maka $DE \perp CD$).
- Luas $\triangle CDE = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}$
- Luas $\triangle CDE = \frac{1}{2} \times CD \times DE$
- Luas $\triangle CDE = \frac{1}{2} \times 28 \times 20$ = 280 cm²
(Perhatikan bahwa angka 280 ini adalah opsi D, yang merupakan luas segitiga utuh sebelum dipotong, jadi jawaban akhirnya pasti lebih kecil dari ini).
Langkah 3: Menentukan Dimensi Segitiga FGH
Untuk mempermudah melihat posisi titik-titik di dalam bangun, kita akan mengibaratkan titik E adalah titik pusat koordinat (0, 0).
- Karena $DE \perp AB$, garis DE berada di sumbu-y, sehingga titik D = (0, 20).
- Garis AB berada di sumbu-x. Garis CD sejajar sumbu-x di ketinggian 20, sehingga titik C = (28, 20).
Garis lurus CE menghubungkan (0, 0) ke (28, 20). Perbandingan jarak horizontal dan vertikal garis ini adalah 28 : 20, yang bisa disederhanakan menjadi 7 : 5.
1. Posisi Titik F:
Diketahui $FK \parallel DE$ (yang berarti FK vertikal/tegak lurus AB) dan panjang FK = 5 cm. Ini berarti tinggi (ordinat y) titik F adalah 5.
Karena F berada di garis CE yang memiliki perbandingan x:y = 7:5, jika y = 5, maka x = 7.
- Koordinat F = (7, 5).
- Panjang EF = $\sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{74}$.
2. Posisi Titik H:
Dari soal diketahui HC = $2 \times EF = 2\sqrt{74}$.
Mari kita hitung panjang total garis CE:
- CE = $\sqrt{28^2 + 20^2} = \sqrt{784 + 400} = \sqrt{1184} = 4\sqrt{74}$.
Karena titik E, F, H, dan C berada dalam satu garis lurus, maka:
- $CE = EF + FH + HC$
- $4\sqrt{74} = \sqrt{74} + FH + 2\sqrt{74}$
- $4\sqrt{74} = 3\sqrt{74} + FH \implies \mathbf{FH = \sqrt{74}}$.
Karena panjang FH = EF, pergerakan titik dari F ke H sama persis dengan dari E ke F (yakni maju 7 ke kanan, naik 5 ke atas).
- Koordinat H = (7 + 7, 5 + 5) = (14, 10).
3. Posisi Titik G dan Luas $\triangle FGH$:
- Diketahui $GF \parallel DE$ (vertikal). Ini berarti posisi x dari G sama dengan F. Jadi, x milik G = 7.
- Diketahui $GF \perp GH$. Karena GF vertikal, maka GH pasti horizontal. Ini berarti posisi y dari G sama dengan H. Jadi, y milik G = 10.
- Koordinat G = (7, 10).
Sekarang kita bisa mencari alas dan tinggi $\triangle FGH$ (yang siku-siku di G):
- Tinggi tegak GF = 10 - 5 = 5 cm.
- Alas mendatar GH = 14 - 7 = 7 cm.
- Luas $\triangle FGH = \frac{1}{2} \times GF \times GH = \frac{1}{2} \times 5 \times 7$ = 17,5 cm².
Langkah 4: Menghitung Luas Area Merah
Area merah adalah hasil pemotongan $\triangle CDE$ oleh $\triangle FGH$.
- Luas Merah = Luas $\triangle CDE$ - Luas $\triangle FGH$
- Luas Merah = 280 cm² - 17,5 cm² = 262,5 cm²
Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 262,5.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar