Soal OSK Matematika SMP Nomor 19 Tahun 2025

Halo sobat! Wah, ini soal geometri yang sangat klasik dan sering muncul di berbagai kompetisi matematika. Soal ini menguji pemahaman kita tentang rasio luas segitiga dan garis cevian.

Pembahasan Soal: Perbandingan Luas Segitiga & Garis Cevian

Soal:

Diberikan segitiga ABC dengan luas 25 cm² dan panjang AB = 10 cm. Titik D terletak pada ruas garis BC, titik E pada AC, dan titik F pada AB sedemikian rupa sehingga perbandingan BD : DC = 2 : 3, CE : EA = 2 : 3, dan AF : FB = 2 : 3. Garis AD, BE, dan CF berpotongan di dalam segitiga dan membentuk segitiga PQR. Berapakah perbandingan luas segitiga PQR dengan luas segitiga ABC?

• A. 1 : 19
• B. 1 : 25
• C. 4 : 19
• D. 4 : 25

📌 Petunjuk Penting (Hati-hati Pengecoh!)

Informasi Luas ABC = 25 cm² dan panjang AB = 10 cm pada soal ini sebenarnya adalah pengecoh (distractor). Karena yang ditanyakan hanyalah perbandingan luas, kita tidak perlu menghitung nilai absolutnya. Kita cukup fokus pada rasio perbandingan sisi-sisinya saja!

Cara Cepat: Menggunakan Teorema Routh

Teorema Routh diciptakan khusus untuk mencari rasio luas segitiga yang terbentuk dari perpotongan tiga garis cevian. Jika titik D, E, F membagi sisi-sisi segitiga dengan rasio x, y, z, maka rumusnya adalah:

Luas PQR / Luas ABC = (xyz − 1)² / [(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)]

Diketahui dari soal bahwa x = y = z =

23

. Mari kita masukkan ke rumus:

• Pembilang: (
  23
  ×
  23
  ×
  23
  − 1)² = (
  827
  − 1)² = (−
  1927
  )² =
  361729
• Penyebut: Karena rasionya sama, ketiga kurung nilainya sama. (
  23
  ×
  23
  +
  23
  + 1) =
  49
  +
  69
  +
  99
  =
  199
  . Karena ada tiga kurung, penyebutnya dipangkatkan tiga: (
  199
  )³ =
  6859729

Maka perbandingannya adalah:

Rasio =

361 / 7296859 / 729

=

3616859

=

19²19³

=

119

Cara Konseptual: Menggunakan Teorema Menelaus

Misalkan Luas ΔABC = L. Segitiga ABC tersusun dari 3 segitiga sudut (ΔABQ, ΔBRC, ΔCAP) dan 1 segitiga tengah (ΔPQR). Kita cari luas salah satu segitiga sudutnya, yaitu ΔABQ:

1. Luas ΔABE: Titik E membagi AC dengan CE : EA = 2 : 3. Artinya alas AE =
   35
   dari AC. Maka, Luas ΔABE =
   35
   L.
2. Posisi Q dengan Menelaus: Tinjau ΔBCE dipotong garis A-Q-D.
   (
   BDDC
   ) × (
   CAAE
   ) × (
   EQQB
   ) = 1 → (
   23
   ) × (
   53
   ) × (
   EQQB
   ) = 1 →
   109
   × (
   EQQB
   ) = 1.
   Didapat EQ : QB = 9 : 10. Ini berarti BQ adalah
   1019
   bagian dari garis BE.
3. Luas ΔABQ: Karena berbagi tinggi, Luas ΔABQ =
   1019
   × Luas ΔABE =
   1019
   ×
   35
   L =
   619
   L.
4. Luas ΔPQR: Karena simetris, ketiga segitiga sudut luasnya sama. Total ketiganya = 3 ×
   619
   L =
   1819
   L.
   Sisa luas di tengah (ΔPQR) = L −
   1819
   L =
   119
   L.

Jadi, perbandingan luas segitiga PQR dengan luas segitiga ABC adalah 1 : 19 (Jawaban: A)