Soal Nomor 15: Geometri Lingkaran dan Segitiga
Soal ini menguji pemahaman kita mengenai sifat-sifat sudut dalam lingkaran, penggunaan trigonometri pada segitiga siku-siku, serta penerapan Teorema Kuasa Titik (Power of a Point) untuk menentukan panjang tali busur yang berpotongan.
Pembahasan Soal OSN: Geometri Lingkaran
Materi: Teorema Thales, Pythagoras, dan Kuasa Titik
Dalam suatu lingkaran berpusat di $O$ berjari-jari $7$, dibuat segitiga $ABC$ dengan titik $A, B, C$ terletak pada lingkaran, $AC$ merupakan diameter lingkaran, dan $\angle ACB = 60^\circ$.
Melalui titik $C$ dan titik tengah $AB$, dibuat garis yang memotong lingkaran di titik $D$. Panjang $CD$ sama dengan ....
Langkah-Langkah Penyelesaian:
1. Analisis Segitiga $ABC$
Karena $AC$ adalah diameter, maka $\angle ABC = 90^\circ$ (Teorema Thales). Dengan diameter $AC = 14$ dan $\angle C = 60^\circ$:
- $BC = 14 \cdot \cos 60^\circ = 7$
- $AB = 14 \cdot \sin 60^\circ = 7\sqrt{3}$
2. Menentukan Panjang $CM$
Titik $M$ adalah titik tengah $AB$, maka $BM = \frac{7\sqrt{3}}{2}$. Pada segitiga siku-siku $BCM$:
$CM^2 = BC^2 + BM^2 = 7^2 + \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{343}{4}$
$CM = \frac{7\sqrt{7}}{2}$
3. Teorema Kuasa Titik
Tali busur $AB$ dan $CD$ berpotongan di $M$. Berlaku:
$CM \cdot MD = AM \cdot MB$
$\frac{7\sqrt{7}}{2} \cdot MD = \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)$
$MD = \frac{147}{4} \cdot \frac{2}{7\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{2}$
Tidak ada komentar:
Posting Komentar