Soal OSK Matematika SMP Nomor 16 Tahun 2025

Soal ini menguji pemahaman tentang geometri bidang datar, khususnya mengenai hubungan luas pada segitiga yang saling bertumpang tindih dan penggunaan Aturan Kosinus. Berikut tampilan soal dan penyelesaiannya ya!

📝 Soal OSN Matematika: Geometri Bidang Datar

Segitiga sama sisi \(ABC\) dan \(DEF\) memiliki panjang sisi yang sama, yaitu \(1\) cm. Titik \(B\) terletak pada sisi \(DE\), titik \(D\) terletak pada sisi \(AB\), dan titik \(G\) adalah perpotongan sisi \(BC\) dan sisi \(DF\).

Jika luas daerah segi empat \(ADGC\) sama dengan luas daerah segi empat \(BEFG\) dan juga sama dengan luas daerah segitiga \(BDG\), maka keliling segi lima \(AEFGC\) adalah ... cm.

A. \(6 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

B. \(6 - \sqrt{2}\)

C. \(6 - \frac{3}{2}\sqrt{2}\)

D. \(6 - 3\sqrt{2}\)

Langkah Penyelesaian:

1. Konsep Dasar

• Luas segitiga sama sisi: \(L = \frac{1}{4}s^2\sqrt{3}\).
• Jika dua bangun sebangun memiliki perbandingan luas \(a:b\), maka perbandingan sisinya adalah \(\sqrt{a}:\sqrt{b}\).
• Karena \(\triangle ABC\) dan \(\triangle DEF\) identik dan memiliki orientasi yang sama terhadap \(\triangle BDG\), maka \(\triangle BDG\) juga merupakan segitiga sama sisi.

Step 1: Relasi Luas

Misalkan Luas \(\triangle BDG = L\). Berdasarkan soal:

\(\text{Luas } \triangle ABC = \text{Luas } ADGC + \text{Luas } \triangle BDG = L + L = 2L\)

Step 2: Menentukan Panjang Sisi \(BD\)

Perbandingan Luas \(\triangle ABC : \text{Luas } \triangle BDG = 2L : L = 2 : 1\).

Maka perbandingan sisinya adalah \(\sqrt{2} : 1\). Karena sisi \(AB = 1\), maka:

\(BD = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \text{ cm}\)

Step 3: Menghitung Panjang Segmen Garis

Karena \(\triangle BDG\) sama sisi, maka \(BD = DG = BG = \frac{1}{2}\sqrt{2}\). Kita dapat menghitung segmen sisanya:

• • \(AD = AB - BD = 1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)
• • \(BE = DE - BD = 1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)
• • \(GC = BC - BG = 1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)
• • \(GF = DF - DG = 1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Step 4: Panjang Sisi Terluar \(AE\)

Titik \(A, D, B, E\) terletak pada garis yang sama (kolinear). Maka panjang \(AE\) adalah:

\(AE = AD + DB + BE = (1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}) + \frac{1}{2}\sqrt{2} + (1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}) = 2 - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Step 5: Menghitung Keliling \(AEFGC\)

Keliling = \(AE + EF + FG + GC + CA\)

\(K = (2 - \frac{1}{2}\sqrt{2}) + 1 + (1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}) + (1 - \frac{1}{2}\sqrt{2}) + 1\)
\(K = (2 + 1 + 1 + 1 + 1) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2})\sqrt{2}\)
\(K = 6 - \frac{3}{2}\sqrt{2}\)

Jawaban Akhir: C