Pembahasan Soal Semifinal OSN Matematika SMP Tahun 2025 Soal Nomor 1

Mari kita pecahkan soal teori bilangan ini bersama-sama! Soal ini sangat bagus karena menguji kemampuan kita dalam memanipulasi aljabar sekaligus memahami sifat keterbagian bilangan.

Berikut adalah penyelesaian langkah demi langkahnya:

Pembahasan Soal: Kombinasi Bilangan Empat Digit

Pertanyaan:

Terdapat bilangan empat digit $abcd$ dengan $a+b = c+d$ dan $(10a+b)-(10c+d) = 36$. Jika bilangan empat digit $abcd$ adalah kelipatan dari 9, jumlah semua bilangan empat digit $abcd$ yang mungkin adalah ....

Mari kita terjemahkan informasi dari soal ke dalam bentuk persamaan matematika. Diketahui $abcd$ adalah bilangan empat digit, yang berarti $a, b, c, d$ adalah angka dari 0 sampai 9, dan $a \neq 0$.

1. Menganalisis Persamaan

Dari soal, kita memiliki dua kondisi awal:

• Kondisi 1: $a + b = c + d$.
  Dari sini kita bisa ubah posisinya menjadi: $b - d = c - a$
• Kondisi 2: $(10a + b) - (10c + d) = 36$.
  Mari kita kelompokkan variabel yang sejenis:
  $$10a + b - 10c - d = 36$$ $$10(a - c) + (b - d) = 36$$

Sekarang, substitusikan bentuk $b - d = c - a$ ke dalam persamaan di atas:

$$10(a - c) + (c - a) = 36$$ $$10(a - c) - (a - c) = 36$$ $$9(a - c) = 36$$ $$a - c = 4 \implies a = c + 4$$

Karena $b - d = c - a$, dan kita tahu $a - c = 4$ (sehingga $c - a = -4$), maka:

$$b - d = -4 \implies d - b = 4 \implies d = b + 4$$

2. Menganalisis Syarat Keterbagian 9

Kondisi 3: Bilangan $abcd$ kelipatan 9.
Syarat sebuah bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digit-digitnya habis dibagi 9.

$$\text{Jumlah digit} = a + b + c + d$$

Substitusikan nilai $a = c + 4$ dan $d = b + 4$:

$$\text{Jumlah digit} = (c + 4) + b + c + (b + 4)$$ $$\text{Jumlah digit} = 2b + 2c + 8 = 2(b + c) + 8$$

Agar $2(b + c) + 8$ habis dibagi 9, kita cari nilai $b + c$ yang memenuhi. Nilai $2(b + c) + 8$ bisa bernilai 9, 18, 27, dst.

• Jika bernilai 9: $2(b + c) = 1 \implies$ tidak mungkin karena $b+c$ harus bulat.
• Jika bernilai 18: $2(b + c) = 10 \implies b + c = 5$. (Memenuhi)
• Jika bernilai 27: $2(b + c) = 19 \implies$ tidak bulat.
• Jika bernilai 36: $2(b + c) = 28 \implies b + c = 14$.

Karena nilai maksimal sebuah digit adalah 9, dari $d = b + 4$ maksimal nilai $b = 5$. Dari $a = c + 4$ maksimal nilai $c = 5$. Maka maksimal nilai $b + c = 10$. Jadi, $b + c = 14$ tidak memenuhi. Satu-satunya kemungkinan yang valid adalah $b + c = 5$.

3. Mendaftar Kombinasi Bilangan

Kita cari pasangan digit $(b, c)$ yang jumlahnya 5, dengan syarat $b \leq 5$ dan $c \leq 5$:

• Jika $b = 0, c = 5 \implies a = 9, d = 4 \implies$ Bilangan: 9054
• Jika $b = 1, c = 4 \implies a = 8, d = 5 \implies$ Bilangan: 8145
• Jika $b = 2, c = 3 \implies a = 7, d = 6 \implies$ Bilangan: 7236
• Jika $b = 3, c = 2 \implies a = 6, d = 7 \implies$ Bilangan: 6327
• Jika $b = 4, c = 1 \implies a = 5, d = 8 \implies$ Bilangan: 5418
• Jika $b = 5, c = 0 \implies a = 4, d = 9 \implies$ Bilangan: 4509

4. Menjumlahkan Semua Kemungkinan

Langkah terakhir adalah menjumlahkan keenam bilangan yang telah kita temukan:

$$\text{Total} = 9054 + 8145 + 7236 + 6327 + 5418 + 4509$$

Untuk berhitung cepat, kita bisa pasangkan bilangan awal dan akhir:

$$= (9054 + 4509) + (8145 + 5418) + (7236 + 6327)$$ $$= 13563 + 13563 + 13563$$ $$= 3 \times 13563 = 40689$$

Kesimpulan Akhir

Jadi, jumlah semua bilangan empat digit $abcd$ yang mungkin adalah:

40689