Pembahasan Soal Semifinal OSN Matematika SMP Tahun 2025 Soal Nomor 2

Pernah dengar kata "KASUR RUSAK"? Nah, di dunia matematika juga ada lho versi angkanya, namanya bilangan palindrom! 🪞

Sama seperti bercermin, angka-angka ini punya bentuk yang simetris dan unik karena nilainya tetap sama persis mau dibaca dari depan ataupun belakang. Yuk, kita pecahkan teka-teki angka bolak-balik ini!

Pembahasan Soal OSN: Pasangan Bilangan Palindrom

Soal:

2. Suatu bilangan bulat disebut bilangan palindrom jika urutan digit penyusunnya sama saat dibaca dari depan maupun dari belakang. Sebagai contoh, 5225 adalah bilangan palindrom.

Misalkan $x$ dan $y$, dengan $x > y$, adalah dua bilangan palindrom berbeda yang terdiri dari empat digit, yaitu bernilai dari 1001 sampai 9999.

Banyaknya pasangan bilangan palindrom sedemikian sehingga $x - y$ merupakan kelipatan 55 adalah ....

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan konsep bentuk umum bilangan dan aritmatika modular (modulo).

1. Membentuk Persamaan Bilangan Palindrom

Misalkan sebuah bilangan palindrom 4 digit dinyatakan sebagai $P = \overline{abba}$. Nilai dari bilangan ini dapat diuraikan menjadi:

$$P = 1000a + 100b + 10b + a$$ $$P = 1001a + 110b$$

Karena $P$ adalah bilangan 4 digit, maka digit ribuan $a$ tidak boleh nol ($a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$), sedangkan $b$ bisa angka apa saja dari 0 hingga 9.

2. Menganalisis Syarat Kelipatan 55

Diketahui selisih dua bilangan palindrom $x$ dan $y$ adalah kelipatan 55. Kita tahu bahwa $55 = 5 \times 11$. Artinya, $(x - y)$ harus habis dibagi 11 dan juga habis dibagi 5.

Cek Keterbagian oleh 11:
Perhatikan bentuk $P = 1001a + 110b$.
Karena $1001 = 11 \times 91$ dan $110 = 11 \times 10$, maka setiap bilangan palindrom 4 digit pasti selalu habis dibagi 11. Akibatnya, selisih dua bilangan palindrom 4 digit apapun ($x - y$) pasti juga selalu kelipatan 11.

Cek Keterbagian oleh 5:
Sekarang kita hanya perlu memastikan bahwa $(x - y)$ habis dibagi 5, atau secara matematis $(x - y) \equiv 0 \pmod 5$.
Mari kita lihat bentuk $P$ dalam modulo 5:

$$P \equiv 1001a + 110b \pmod 5$$

Karena $110$ kelipatan 5, maka $110b \equiv 0 \pmod 5$. Dan karena $1001$ bersisa 1 jika dibagi 5, maka $1001a \equiv 1 \cdot a \equiv a \pmod 5$.

Jadi, nilai sebuah bilangan palindrom 4 digit modulo 5 sepenuhnya hanya bergantung pada digit pertama/terakhirnya ($a$). Sehingga agar $(x - y)$ habis dibagi 5, syaratnya adalah digit $a$ dari bilangan $x$ dan bilangan $y$ harus memiliki sisa yang sama jika dibagi 5.

3. Mengelompokkan Bilangan Palindrom

Kita kelompokkan angka $a$ (dari 1 sampai 9) berdasarkan sisanya jika dibagi 5:

• Sisa 1: $a \in \{1, 6\}$. Ada 2 pilihan $a$, dan 10 pilihan $b$. Total = $2 \times 10 = \mathbf{20}$ bilangan.
• Sisa 2: $a \in \{2, 7\}$. Ada 2 pilihan $a$, dan 10 pilihan $b$. Total = $2 \times 10 = \mathbf{20}$ bilangan.
• Sisa 3: $a \in \{3, 8\}$. Ada 2 pilihan $a$, dan 10 pilihan $b$. Total = $2 \times 10 = \mathbf{20}$ bilangan.
• Sisa 4: $a \in \{4, 9\}$. Ada 2 pilihan $a$, dan 10 pilihan $b$. Total = $2 \times 10 = \mathbf{20}$ bilangan.
• Sisa 0: $a \in \{5\}$. (Ingat, $a$ tidak boleh 0). Ada 1 pilihan $a$, dan 10 pilihan $b$. Total = $1 \times 10 = \mathbf{10}$ bilangan.

4. Menghitung Total Pasangan $(x, y)$

Syarat soal meminta pasangan $x$ dan $y$ yang berbeda dengan $x > y$. Ini identik dengan mengambil kombinasi 2 bilangan dari masing-masing kelompok sisa di atas.

• Dari kelompok sisa 1: $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ pasangan.
• Dari kelompok sisa 2: $\binom{20}{2} = 190$ pasangan.
• Dari kelompok sisa 3: $\binom{20}{2} = 190$ pasangan.
• Dari kelompok sisa 4: $\binom{20}{2} = 190$ pasangan.
• Dari kelompok sisa 0: $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ pasangan.

Kesimpulan Akhir

Total keseluruhan pasangan $(x, y)$ yang memenuhi syarat adalah:

190 + 190 + 190 + 190 + 45 = 805