Soal Nomor 4 Diketahui $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} = 20$ dan $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 225$. Jika $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{m}{n}$ (dalam bentuk pecahan paling sederhana), tentukan nilai dari $m - n$.
1
Transformasi Variabel

Kita ubah bentuk akar menjadi variabel sederhana agar identitas aljabar lebih mudah terlihat dan dihitung.

Identitas Pemisalan Misalkan $x = \sqrt[4]{a}$ dan $y = \sqrt[4]{b}$. Maka secara otomatis $x^2 = \sqrt{a}$ dan $x^4 = a$.
Sistem persamaan awal berubah menjadi:

(1) $x + y = 20$
(2) $x^2 + y^2 = 225$
2
Ekspansi Kuadrat Sempurna

Untuk mendapatkan nilai perkalian $xy$, kita gunakan hubungan antara jumlah variabel dan jumlah kuadratnya.

Identitas Utama 1 $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
$20^2 = 225 + 2xy$
$400 - 225 = 2xy$
$175 = 2xy \implies xy = \frac{175}{2} = 87,5$
3
Manipulasi Pecahan Simetris

Target akhir kita adalah $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$, yang berarti $\frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4}$. Kita mulai bangun rasionya dari pangkat 1.

Identitas Utama 2 (Penjumlahan Pecahan) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{225}{87,5} = \frac{450}{175} = \mathbf{\frac{18}{7}}$
4
Iterasi Kuadrat (Lifting the Exponent)

Gunakan nilai rasio sebelumnya untuk naik ke pangkat yang lebih tinggi secara bertahap.

Identitas Utama 3 (Rekursif) Jika $k = \frac{x^n}{y^n} + \frac{y^n}{x^n}$, maka $\frac{x^{2n}}{y^{2n}} + \frac{y^{2n}}{x^{2n}} = k^2 - 2$
Lompatan Pangkat 2:
$\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} = \left(\frac{18}{7}\right)^2 - 2 = \frac{324}{49} - \frac{98}{49} = \frac{226}{49}$

Lompatan Pangkat 4 (Target Final):
$\frac{x^4}{y^4} + \frac{y^4}{x^4} = \left(\frac{226}{49}\right)^2 - 2 = \frac{51076}{2401} - \frac{4802}{2401} = \mathbf{\frac{46274}{2401}}$

Hasil Akhir: $m - n$

43.873

Karena $m = 46274$ dan $n = 2401$
Maka $46274 - 2401 = 43873$