Materi OSN: Aljabar 1

Materi tentang konsep Aljabar tingkat lanjut yang sering diujikan pada Olimpiade Sains Nasional (OSN). Materi ini terbagi menjadi tiga bagian utama: Sifat Aljabar, Ketaksamaan Dasar, dan Barisan & Deret.

Berikut adalah rangkuman materi lengkapnya:

Materi Lengkap Aljabar OSN

"Matematika adalah tempat untuk kamu yang menyukai tantangan. Ketika kamu kesulitan, kamu engga berhenti. Kamu justru lebih berusaha untuk mempelajarinya lagi." - ANONIM

Sumber: Athemy.id

1. Sifat Aljabar

Bagaimana menggunakan sifat aljabar?
Biasanya kalau ketemu soal aljabar, hal yang dilakuin itu eksplorasi dulu. Bisa menyederhanakan, memfaktorkan, menyamakan penyebut, pakai pemisalan, kalikan persamaan, jumlahkan persamaan, eliminasi, substitusi, atau lainnya. Nanti dari eksplorasi itu ada petunjuk baru yang bisa didapatkan. Lalu petunjuk itu diolah, dan dapat hasilnya.

Rumus Identitas dan Sifat Aljabar Penting:

• x² + y² - 2xy = (x - y)²
• x³ + y³ + 3xy(x + y) = (x + y)³
• x² - y² = (x - y)(x + y)
• x⁴ + 4y⁴ = (x² + 2y²)² - (2xy)² = (x² + 2y² - 2xy)(x² + 2y² + 2xy)
• x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
• x⁴ - y⁴ = (x - y)(x³ + x²y + xy² + y³)
• x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) = (x + y + z)²

Soal 1:

Diketahui nilai a² + b² = 5 dan ab = 3, tentukan nilai dari a + b.

Pembahasan:

a dan b adalah variabel yang memenuhi persamaan a² + b² = 5 (1) dan ab = 3 (2). Tujuan kita mencari a dan b yang memenuhi kedua persamaan itu, lalu menghitung nilai a+b. Akan sulit jika mencari nilai a dan b-nya terlebih dahulu.
- Ambil persamaan (1): a² + b² = 5
- Tambahkan 2ab di kedua ruas: a² + b² + 2ab = 5 + 2ab
- Faktorkan ruas kiri: (a + b)² = 5 + 2ab
- Substitusi nilai ab = 3: (a + b)² = 5 + 2(3) → (a + b)² = 11
Diperoleh a + b = √11 atau a + b = -√11.

Soal 2:

Diketahui nilai a² = 3b + 7 dan b² = 3a + 7. Jika a ≠ b, tentukan nilai a² + b².

Pembahasan:

Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2):
a² - b² = 3b - 3a
(a - b)(a + b) = -3(a - b)
(a - b)(a + b) + 3(a - b) = 0
(a - b)(a + b + 3) = 0
Karena a ≠ b (maka a - b ≠ 0), maka a + b + 3 = 0, sehingga diperoleh a + b = -3.

Jumlahkan persamaan (1) dan (2):
a² + b² = 3b + 3a + 14
a² + b² = 3(a + b) + 14
Karena a + b = -3, diperoleh a² + b² = 3(-3) + 14 = -9 + 14 = 5.

Soal 3:

Diketahui x, y bilangan real dimana x + y + xy = 8 dan (x + y)xy = 15. Tentukan nilai x² + y².

Pembahasan:

Misal x + y = p dan xy = q, maka persamaannya menjadi:
p + q = 8 (1)
pq = 15 (2)
Akibatnya x² + y² = (x + y)² - 2xy = p² - 2q.
Dari pers (1) diperoleh q = 8 - p. Substitusi ke pers (2):
p(8 - p) = 15 → 8p - p² = 15 → p² - 8p + 15 = 0 → (p - 3)(p - 5) = 0.
Maka p = 3 atau p = 5.
- Jika p = 3 maka q = 5, akibatnya x² + y² = (3)² - 2(5) = -1 (Tidak memenuhi karena x,y real → x²+y² harus positif)
- Jika p = 5 maka q = 3, akibatnya x² + y² = (5)² - 2(3) = 25 - 6 = 19 (Memenuhi).

Latihan Soal Sifat Aljabar:

1. Diketahui a + b = 1 dan a² + b² = 3, Tentukan nilai dari a⁶ + b⁶.
2. Nilai dari x² + xy = 12 dan 3y² + 2xy = -5, tentukan semua solusi (x,y) yang memenuhi.
3. Jika x² + 3xy + y² = 909 dan 3x² + xy + 3y² = 1287, tentukan semua nilai yang mungkin dari x + y.
4. Tentukan semua solusi yang memenuhi x² + 9xy + y² = 23 dan xy + x + y = 5.

2. Ketaksamaan Dasar

Bagaimana mencari nilai maksimum atau minimum? Menggunakan pendekatan AM (Arithmetic Mean) dan GM (Geometric Mean).

• Misal diberikan data 3, 5, 4, 5, maka:
  AM = (3 + 5 + 4 + 5)/4 = 17/4 = 4,25.
  GM = ⁴√(3 × 5 × 4 × 5) = ⁴√300 ≈ 4,16.
• Jika setiap data yang diberikan bernilai positif maka pasti AM ≥ GM.
• Nilai AM akan sama dengan GM ketika semua data memiliki nilai yang sama.

Soal 1:

Diketahui a dan b adalah bilangan real positif dimana a + 4b = 12, tentukan nilai maksimum dari ab².

Pembahasan:

Pilih tiga data yaitu a, 2b, 2b.
Maka AM = (a + 2b + 2b)/3 = (a + 4b)/3.
GM = ³√(a × 2b × 2b) = ³√(4ab²).
Karena nilai AM ≥ GM maka (a + 4b)/3 ≥ ³√(4ab²).
Karena nilai a + 4b = 12 maka 12/3 ≥ ³√(4ab²) → 4 ≥ ³√(4ab²).
Kedua ruas dipangkatkan tiga: 64 ≥ 4ab².
Kedua ruas dibagi dengan 4: 16 ≥ ab².
Diperoleh nilai maksimum ab² adalah 16, yang dicapai ketika a = 2b = 2b. Yaitu ketika a = 4 dan b = 2.

Soal 2:

Diketahui a, b, dan c adalah bilangan real positif. Buktikan bahwa a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc.

Pembahasan:

- Pilih dua data a² dan b², AM-GM: (a² + b²)/2 ≥ √(a²b²) → a² + b² ≥ 2ab (1)
- Pilih dua data a² dan c², AM-GM: (a² + c²)/2 ≥ √(a²c²) → a² + c² ≥ 2ac (2)
- Pilih dua data b² dan c², AM-GM: (b² + c²)/2 ≥ √(b²c²) → b² + c² ≥ 2bc (3)
Jumlahkan (1), (2), dan (3) maka diperoleh: 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2ac + 2bc.
Bagi kedua ruas dengan 2, akibatnya terbukti a² + b² + c² ≥ ab + ac + bc.

Soal 3:

Diketahui a dan b adalah bilangan real positif dimana (a + 4/a)(b + 5/b) = √320. Tentukan nilai dari ab.

Pembahasan:

- Pilih dua data a dan 4/a, AM-GM: (a + 4/a)/2 ≥ √(a × 4/a) = √4 = 2 → (a + 4/a) ≥ 4 (1)
- Pilih dua data b dan 5/b, AM-GM: (b + 5/b)/2 ≥ √(b × 5/b) = √5 → (b + 5/b) ≥ 2√5 (2)
Kalikan persamaan (1) dan (2): (a + 4/a)(b + 5/b) ≥ 8√5 = √320.
Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika a = 4/a dan b = 5/b.
Akibatnya a² = 4 → a = 2. Dan b² = 5 → b = √5.
Maka ab = 2√5.

Latihan Soal Ketaksamaan:

1. Jika a dan b bilangan real positif dan ab = 6, tentukan nilai minimum dari 2a² + 4b. Berapa nilai a dan b nya?
2. p adalah bilangan real positif, berapa nilai minimum dari (p + 1/p)?
3. Jika a,b,c bilangan real positif. Buktikan bahwa a³ + b³ + c³ ≥ a²b + b²c + c²a.
4. Jika a dan b bilangan real positif dan a + 6b = 5, tentukan nilai maksimum dari 3ab.

3. Barisan dan Deret

"Dimana ada bilangan, disana ada keindahan." - PROCLUS

Bagaimana menjumlahkan bilangan berpola?

Beberapa Rumus Deret Dasar:

• 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
• 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6
• 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = [n(n+1)/2]²

Catatan: Penjumlahan deret pangkat tiga berhubungan erat dengan deret biasa:
1³ + 2³ + 3³ = (1 + 2 + 3)²
1³ + 2³ + 3³ + 4³ = (1 + 2 + 3 + 4)²

Soal 1:

Jumlah n suku pertama barisan aritmatika dirumuskan dengan S_n = 2n² + 4n. Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut.

Pembahasan:

S₇ menyatakan jumlah u₁ hingga u₇. S₆ menyatakan jumlah u₁ hingga u₆.
Akibatnya u₇ sama dengan S₇ - S₆.
S₇ = 2(7)² + 4(7) = 98 + 28 = 126.
S₆ = 2(6)² + 4(6) = 72 + 24 = 96.
U₇ = 126 - 96 = 30.

Soal 2:

Suatu pohon dapat bertunas dua buah pohon baru setiap bulan apabila pohon tersebut telah beumur dua bulan. Jika di bulan pertama terdapat 1 pohon maka banyak pohon di bulan ke-5 adalah...

Pembahasan:

Bulan 1: 1 pohon
Bulan 2: 1 pohon
Bulan 3: 3 pohon
Misal a_n menyatakan banyak pohon pada bulan ke n, polanya memanggil jumlah bulan sebelumnya.
Bulan 4: a₃ + 2(a₂) = 3 + 2(1) = 5 pohon.
Bulan 5: a₄ + 2(a₃) = 5 + 2(3) = 11 pohon.

Soal 3:

Diketahui a_n = 2a_n-1 + 3a_n-2 dimana a₁ = 1 dan a₂ = 11. Tentukan nilai dari a₅.

Pembahasan:

Lakukan substitusi secara bertahap:
- n = 3, maka a₃ = 2a₂ + 3a₁ = 2(11) + 3(1) = 25.
- n = 4, maka a₄ = 2a₃ + 3a₂ = 2(25) + 3(11) = 83.
- n = 5, maka a₅ = 2a₄ + 3a₃ = 2(83) + 3(25) = 166 + 75 = 241.

Soal 4:

Tentukan nilai dari 1×2 + 2×3 + 3×4 + 4×5 + … + 9×10.

Pembahasan:

Bentuk barisan diubah menjadi:
1×(1+1) + 2×(2+1) + 3×(3+1) + … + 9×(9+1)
Disederhanakan menjadi:
1² + 1 + 2² + 2 + 3² + 3 + … + 9² + 9
Diatur posisi kelompoknya menjadi:
[1² + 2² + 3² + … + 9²] + [1 + 2 + 3 + … + 9]
Gunakan rumus deret dasar:
= [9(9+1)(2(9)+1)/6] + [9(9+1)/2]
= [9(10)(19)/6] + [9(10)/2]
= 285 + 45 = 330.

Latihan Soal Barisan dan Deret:

1. Seekor kera jatuh kedalam sumur kering sedalam 4 meter. Setiap kera memanjat, ketika naik sejauh 50 cm, kera itu meluncur turun 20 cm. Berapa kali kera harus memanjat agar keluar dari sumur?
2. Diketahui a_n = 3a_n-1 - n⋅a_n-2 + 2 dimana a₁ = 1 dan a₂ = 1. Tentukan nilai dari a₅.
3. Tentukan nilai dari 5² + 7² + 9² + … + 19².