Bilangan Jumpat ini menguji pemahaman tentang deret aritmetika, aljabar dasar, dan sedikit teori bilangan (modulo/sisa bagi). Berikut adalah penyelesaian lengkap beserta konsep dasarnya.
Pembahasan Soal OSN: Menentukan Banyaknya Bilangan "JUMPAT"
Soal:
Suatu bilangan bulat positif $n$ disebut bilangan JUMPAT jika jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama dapat dinyatakan sebagai penjumlahan empat bilangan bulat positif berurutan. Banyaknya bilangan JUMPAT yang kurang dari 2024 adalah ....
- 252
- 253
- 504
- 505
Mari kita pecahkan soal matematika di atas langkah demi langkah. Soal ini menguji pemahaman kita tentang deret aritmetika, aljabar dasar, dan teori bilangan (modulo/sisa bagi).
1. Konsep Dasar
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memecah informasi menjadi dua konsep matematika:
- Jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama: Ini adalah deret aritmetika dasar ($1 + 2 + 3 + \dots + n$). Rumusnya adalah:
$$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$ - Penjumlahan empat bilangan bulat positif berurutan: Misalkan bilangan bulat positif terkecil adalah $k$ (dengan syarat $k \ge 1$). Maka empat bilangan berurutannya adalah $k, (k+1), (k+2),$ dan $(k+3)$. Jumlahnya adalah:
$$k + (k+1) + (k+2) + (k+3) = 4k + 6$$
2. Langkah-Langkah Penyelesaian
Langkah 1: Membuat Persamaan
Berdasarkan soal, bilangan JUMPAT terjadi jika kedua nilai konsep di atas sama. Maka kita bisa membuat persamaan:
$$\frac{n(n+1)}{2} = 4k + 6$$Langkah 2: Menyederhanakan Persamaan
Kalikan kedua ruas dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
$$n(n+1) = 8k + 12$$Langkah 3: Menganalisis Sisa Bagi (Modulo 8)
Perhatikan ruas kanan persamaan yaitu $8k + 12$. Jika angka tersebut dibagi 8, maka $8k$ akan habis dibagi 8 (sisa 0), dan 12 jika dibagi 8 akan menyisakan 4. Artinya, ruas kanan selalu memiliki sisa 4 jika dibagi 8.
Karena ruas kiri dan kanan harus sama, maka ruas kiri $n(n+1)$ juga harus memiliki sisa 4 jika dibagi 8. Secara matematis ditulis:
$$n(n+1) \equiv 4 \pmod 8$$Mari kita uji sisa bagi $n$ dari $0$ sampai $7$:
| Sisa bagi $n$ | Sisa bagi $(n+1)$ | Sisa bagi $n(n+1) \pmod 8$ | Memenuhi Syarat (Sisa 4)? |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | $0 \times 1 = 0 \pmod 8$ | Tidak |
| 1 | 2 | $1 \times 2 = 2 \pmod 8$ | Tidak |
| 2 | 3 | $2 \times 3 = 6 \pmod 8$ | Tidak |
| 3 | 4 | $3 \times 4 = 12 \equiv 4 \pmod 8$ | Ya |
| 4 | 5 | $4 \times 5 = 20 \equiv 4 \pmod 8$ | Ya |
| 5 | 6 | $5 \times 6 = 30 \equiv 6 \pmod 8$ | Tidak |
| 6 | 7 | $6 \times 7 = 42 \equiv 2 \pmod 8$ | Tidak |
| 7 | 8 (atau 0) | $7 \times 0 = 0 \pmod 8$ | Tidak |
Nilai $n$ yang memenuhi syarat adalah bilangan yang bersisa 3 atau 4 jika dibagi 8. Secara aljabar, $n$ harus berbentuk:
- Bentuk 1: $n = 8m + 3$
- Bentuk 2: $n = 8m + 4$
(dengan $m$ adalah bilangan bulat non-negatif)
Langkah 4: Mengecek Syarat Bilangan Positif
Karena $k$ mewakili bilangan bulat positif pertama, maka minimal $k = 1$. Masukkan $k = 1$ ke persamaan Langkah 2:
$$n(n+1) = 8(1) + 12 = 20$$Angka berurutan yang hasil kalinya 20 adalah $4 \times 5$, sehingga $n$ minimal adalah 4.
Maka, untuk bentuk $n = 8m + 3$, nilai $m$ harus dimulai dari $1$ (sehingga $n$ terkecil adalah $11$). Sedangkan untuk bentuk $n = 8m + 4$, nilai $m$ bisa dimulai dari $0$ (sehingga $n$ terkecil adalah $4$).
Langkah 5: Menghitung Banyaknya Bilangan Kurang dari 2024
Kita cari tahu ada berapa banyak nilai $m$ yang membuat $n < 2024$.
- Untuk $n = 8m + 3$ (dimulai dari $m=1$):
$8m + 3 < 2024 \implies 8m < 2021 \implies m < 252.625$
Karena $m$ dimulai dari $1$, maka $m$ yang memenuhi adalah $1, 2, 3, \dots, 252$. Total ada 252 bilangan. - Untuk $n = 8m + 4$ (dimulai dari $m=0$):
$8m + 4 < 2024 \implies 8m < 2020 \implies m < 252.5$
Karena $m$ dimulai dari $0$, maka $m$ yang memenuhi adalah $0, 1, 2, \dots, 252$. Total ada 253 bilangan.
Kesimpulan Akhir
Total banyaknya bilangan JUMPAT adalah penjumlahan dari kedua kemungkinan di atas:
$252 + 253 = 505$
Jawaban yang tepat adalah D. 505
Tidak ada komentar:
Posting Komentar