KPK: OSNK Matematika SMP 2024

Soal ini menguji pemahaman tentang kelipatan bilangan bulat dan operasi bilangan berpangkat (eksponen).

Pembahasan Soal OSN: Menentukan Banyaknya Kelipatan Bilangan Berpangkat

Soal:

Misalkan $N(a, b, c)$ menyatakan banyaknya kelipatan $a$ yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$.

Sebagai contoh, $N(3, 5, 10) = 2$ karena terdapat dua bilangan antara 5 dan 10 yang merupakan kelipatan 3.

Nilai dari $N(6^3, 6^4, 6^6)$ adalah ....

1. 216
2. 215
3. 209
4. 208

Mari kita pecahkan soal ini langkah demi langkah. Soal ini menguji pemahaman kita tentang kelipatan bilangan bulat dan operasi bilangan berpangkat (eksponen).

1. Memahami Konsep Dasar

Definisi dari soal menyebutkan bahwa $N(a, b, c)$ adalah banyaknya kelipatan $a$ yang lebih besar dari $b$ dan kurang dari $c$.

Secara matematis, jika kelipatan tersebut dikalikan dengan suatu bilangan bulat $k$, maka kita mencari ada berapa banyak bilangan bulat $k$ yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

$$b < k \cdot a < c$$

Mari kita buktikan dengan contoh di soal: $N(3, 5, 10)$

• Pertidaksamaannya: $5 < k \cdot 3 < 10$
• Bagi semua ruas dengan 3: $\frac{5}{3} < k < \frac{10}{3}$
• Hasilnya: $1.66 < k < 3.33$
• Bilangan bulat $k$ yang memenuhi adalah 2 dan 3 (ada 2 bilangan). Konsep ini terbukti benar.

2. Langkah-Langkah Penyelesaian

Langkah 1: Memasukkan Nilai ke dalam Pertidaksamaan

Berdasarkan soal yang ditanyakan yaitu $N(6^3, 6^4, 6^6)$, kita identifikasi nilai-nilainya:

• $a = 6^3$
• $b = 6^4$
• $c = 6^6$

Masukkan ke dalam format pertidaksamaan yang sudah kita buat:

$$6^4 < k \cdot 6^3 < 6^6$$

Langkah 2: Menyederhanakan Pertidaksamaan

Untuk mencari rentang nilai $k$, kita bagi semua ruas dengan $6^3$:

$$\frac{6^4}{6^3} < k < \frac{6^6}{6^3}$$

Ingat kembali sifat pembagian bilangan berpangkat: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

$$6^{4-3} < k < 6^{6-3}$$ $$6^1 < k < 6^3$$ $$6 < k < 216$$

Langkah 3: Menghitung Banyaknya Bilangan

Pertidaksamaan $6 < k < 216$ berarti kita mencari himpunan bilangan bulat $k$ yang dimulai dari setelah 6 hingga sebelum 216.

Himpunan bilangan tersebut adalah $\{7, 8, 9, \dots, 215\}$.

Untuk mencari banyaknya bilangan dalam rentang tersebut, kita bisa menggunakan rumus sederhana:

$$\text{Batas Atas} - \text{Batas Bawah} - 1$$

(Kita kurangi 1 karena syarat di soal adalah "kurang dari" dan "lebih besar dari", sehingga batas ujungnya tidak ikut dihitung).

Banyaknya bilangan = $216 - 6 - 1 = 209$

Kesimpulan Akhir

Nilai dari $N(6^3, 6^4, 6^6)$ adalah:

209

Jawaban yang tepat adalah C. 209