Kapal Bersandar; OSN Matematika SMP Tahun 2023

 

Wah, ini soal yang sangat menarik! Berbeda dengan soal dadu sebelumnya, soal ini tidak bisa diselesaikan dengan menghitung satu per satu peluangnya (karena waktunya kontinu, bukan diskrit/terpisah seperti angka dadu).

Untuk menyelesaikan soal seperti ini, kita harus menggunakan konsep Peluang Geometris, yaitu dengan membayangkannya sebagai sebuah luasan area pada grafik Kartesius.

Mari kita bedah konsep dan langkah-langkahnya!

📌 Soal

"Dua kapal memiliki tempat bersandar (berlabuh) yang sama di suatu pelabuhan. Diketahui bahwa waktu kedatangan kedua kapal saling bebas dan memiliki kemungkinan yang sama untuk bersandar pada suatu hari Minggu (jam 00.00 – 24.00). Jika waktu bersandar kapal pertama adalah 2 jam dan waktu bersandar kapal kedua adalah 4 jam, peluang bahwa salah satu kapal harus menunggu sampai tempat bersandar bisa digunakan adalah ...."

🧠 Konsep Dasar

Soal ini tidak bisa diselesaikan dengan menghitung peluang satu per satu karena waktu berjalan secara kontinu. Oleh karena itu, kita harus menggunakan konsep Peluang Geometris. Kita akan membayangkannya sebagai sebuah luasan area pada grafik Kartesius:

• Sumbu X mewakili waktu kedatangan Kapal Pertama (0 hingga 24).
• Sumbu Y mewakili waktu kedatangan Kapal Kedua (0 hingga 24).
• Peluang "salah satu kapal menunggu" adalah perbandingan antara Luas Area Kapal Menunggu dibagi dengan Total Luas Area.

✍️ Langkah Penyelesaian

Langkah 1: Menentukan Total Area

Kedua kapal bisa datang kapan saja selama 24 jam. Ini membentuk sebuah persegi besar dengan panjang sisi 24.

• Total Area = 24 × 24 = 576

Langkah 2: Menentukan Syarat Kapal Menunggu

Kapal akan saling menunggu jika waktu sandarnya bertabrakan (overlap). Ini terjadi pada dua kondisi:

• Kondisi A: Kapal 2 datang saat Kapal 1 bersandar (selama 2 jam). Syaratnya: y ≤ x + 2
• Kondisi B: Kapal 1 datang saat Kapal 2 bersandar (selama 4 jam). Syaratnya: y ≥ x - 4

Langkah 3: Menghitung Luas Area Menunggu

Cara termudah adalah menghitung Luas Area Aman (berupa dua segitiga siku-siku di luar area menunggu) lalu mengurangkannya dari Total Area.

• Segitiga Atas (Aman 1): Alas = 22, Tinggi = 22.
  Luas = (1/2) × 22 × 22 = 242
• Segitiga Bawah (Aman 2): Alas = 20, Tinggi = 20.
  Luas = (1/2) × 20 × 20 = 200
• Total Luas Area Aman: 242 + 200 = 442

Maka, Luas Area Menunggu = Total Area − Total Area Aman = 576 − 442 = 134.

Langkah 4: Menghitung Peluang Akhir

Peluang = Luas Area Menunggu ÷ Total Area
Peluang = 134 / 576
(Disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2)
Peluang = 67 / 288

🎯 Kesimpulan Akhir 67 / 288

Peluang bahwa salah satu kapal harus menunggu sampai tempat bersandar bisa digunakan adalah 67/288.