Soal OSP Matematika SMP Nomor 6 Tahun 2025

Soal ini sangat menarik karena menguji pemahaman adalah tentang Aljabar Lanjut (identitas polinomial dan optimasi).

Mari kita bahas langkah-langkah sistematisnya satu per satu.

Identitas Aljabar & Nilai Maksimum (Teorema Vieta)

Bilangan real a, b, dan c memenuhi persamaan:
a + b + c = 0  dan  a² + b² + c² = 12.

Nilai maksimum dari (a³ + b³ + c³)³ adalah ...

🔍 Lihat Analisis & Penyelesaian

Konsep Dasar yang Digunakan

• Identitas Pemfaktoran 3 Variabel: a³ + b³ + c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca).
• Teorema Vieta (Polinomial Kubik): Variabel a, b, c dapat dipandang sebagai akar-akar dari suatu persamaan pangkat tiga.
• Aplikasi Turunan: Digunakan untuk mencari titik stasioner (maksimum/minimum) guna menentukan syarat agar akar-akar polinomial bersifat real.

Langkah-Langkah Sistematis

Langkah 1: Menyederhanakan Bentuk Target

Berdasarkan identitas aljabar, karena diketahui a + b + c = 0, maka seluruh ruas kanan pada rumus pemfaktoran akan menjadi 0.
Sehingga kita dapatkan: a³ + b³ + c³ − 3abc = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc.
Maka, target soal yang awalnya (a³ + b³ + c³)³ berubah menjadi mencari nilai maksimum dari (3abc)³ atau 27(abc)³.

Langkah 2: Mencari Nilai Kombinasi Dua Variabel

Kita gunakan identitas kuadrat binomial: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab+bc+ca).
Substitusikan nilai yang diketahui:
0² = 12 + 2(ab + bc + ca)
−12 = 2(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca = −6.

Langkah 3: Membentuk Persamaan Polinomial Baru

Misalkan a, b, c adalah akar-akar dari suatu polinomial derajat 3 dengan variabel x. Menurut Teorema Vieta:
x³ − (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x − (abc) = 0.
Mari kita misalkan nilai abc = r. Substitusikan nilai-nilai yang sudah ada:
x³ − (0)x² + (−6)x − r = 0 ⇒ x³ − 6x = r.

Langkah 4: Mencari Batas Nilai agar Akar Bersifat Real

Misalkan fungsi f(x) = x³ − 6x. Agar persamaan f(x) = r memiliki 3 akar real (karena a, b, c adalah bilangan real), maka garis mendatar y = r tidak boleh melewati titik puncak maksimum dan minimum dari kurva f(x).
Kita cari titik stasionernya dengan menurunkan fungsi tersebut (turunan = 0):
f'(x) = 3x² − 6 = 0 ⇒ x² = 2 ⇒ x = ±√2.

Sekarang kita uji nilai ekstremnya:
• Saat x = √2 ⇒ (√2)³ − 6(√2) = 2√2 − 6√2 = −4√2.
• Saat x = −√2 ⇒ (−√2)³ − 6(−√2) = −2√2 + 6√2 = 4√2.

Jadi, agar akar-akarnya bilangan real, nilai r (abc) harus berada pada rentang: −4√2 ≤ abc ≤ 4√2.

Langkah 5: Menghitung Target Akhir

Kita diminta mencari nilai maksimum dari 27(abc)³.
Karena pangkatnya ganjil, nilai maksimum akan tercapai saat kita memasukkan nilai abc terbesar yang mungkin, yaitu 4√2.

Maka perhitungannya:
Maksimum = 27 × (4√2)³
Maksimum = 27 × (64 × 2√2)
Maksimum = 27 × 128√2 = 3456√2.

Maka, nilai maksimum yang mungkin adalah 3456√2