Soal OSP Matematika SMP Nomor 2

Soal ini sangat bagus untuk melatih logika berpikir komputasional, terutama karena berhubungan langsung dengan cara kerja komputer menyimpan angka (sistem biner).

Mari kita bedah konsep dasar dan langkah-langkah penyelesaiannya secara berurutan. 

Misteri Skor Gim: Berpikir Komputasional

Tiga orang, yaitu Ali, Budi, dan Cika sedang bermain gim. Di akhir permainan, layar menampilkan total skor 6208 poin, yang merupakan jumlah dari tiga skor berbeda milik mereka.

Masing-masing skor dapat dinyatakan dalam bentuk perpangkatan 2 dengan pangkat bilangan bulat positif. Jika setiap skor mereka dinyatakan dalam bentuk tersebut, maka jumlah pangkat dari ketiga skor mereka adalah ....

💡 Buka Penyelesaian

Konsep Dasar

Soal ini menerapkan konsep sistem bilangan biner (basis 2). Setiap bilangan desimal bisa dipecah menjadi penjumlahan unik dari kelipatan pangkat 2. Kita menggunakan algoritma greedy, yaitu memecah angka mulai dari nilai pangkat 2 terbesar yang memungkinkan.

Mari ingat kembali beberapa deret nilai pangkat 2:

• 2⁶ = 64
• 2⁷ = 128
• 2⁸ = 256
• 2⁹ = 512
• 2¹⁰ = 1024
• 2¹¹ = 2048
• 2¹² = 4096
• 2¹³ = 8192

Langkah-Langkah Logika

Langkah 1: Model Matematika
Kita asumsikan skor mereka adalah 2^a, 2^b, dan 2^c.
Persamaannya: 2^a + 2^b + 2^c = 6208 (dengan syarat a, b, dan c berbeda).

Langkah 2: Cari Skor Terbesar Pertama (2^a)
Cari bilangan pangkat 2 terbesar yang mendekati, namun tidak melebihi 6208.
Dari daftar di atas, nilainya adalah 4096 (2¹²).
Maka, skor orang pertama = 2¹².

Langkah 3: Cari Skor Terbesar Kedua (2^b)
Kurangi total skor dengan skor orang pertama: 6208 - 4096 = 2112.
Cari bilangan pangkat 2 terbesar yang mendekati 2112.
Nilainya adalah 2048 (2¹¹).
Maka, skor orang kedua = 2¹¹.

Langkah 4: Cari Skor Ketiga (2^c)
Kurangi sisa skor dengan skor orang kedua: 2112 - 2048 = 64.
Angka 64 adalah hasil pasti dari pangkat 2, yaitu 2⁶.
Maka, skor orang ketiga = 2⁶.

Langkah 5: Kesimpulan Akhir
Ketiga skor tersebut adalah 2¹², 2¹¹, dan 2⁶. Semuanya berbeda, sehingga memenuhi syarat soal.

Yang ditanyakan adalah jumlah pangkatnya:
12 + 11 + 6 = 29.