Soal OSP Matematika SMP Nomor 1 Tahun 2025

Soal ini adalah tipe Teori Bilangan (Number Theory) klasik yang sangat indah karena menggabungkan konsep aljabar, logika batasan nilai, dan faktorisasi prima.

Mari kita bedah konsep dasar dan langkah-langkah penyelesaiannya secara runut!

Menebak Bilangan 4 Digit (Teori Bilangan)

Suatu bilangan bulat positif empat digit memiliki keempat sifat berikut:

1. Kurang dari 2025.
2. Jumlah keempat digitnya sama dengan 24.
3. Jumlah digit ribuan dan ratusan sama dengan jumlah dua digit lainnya dikurangi 4.
4. Memiliki tepat tiga faktor prima berbeda yang jumlahnya kurang dari 100.

Bilangan tersebut adalah ...

🔍 Lihat Langkah Penyelesaian

Misalkan bilangan tersebut adalah N = abcd, di mana a adalah ribuan, b ratusan, c puluhan, dan d satuan.

Langkah 1: Menyusun Sistem Persamaan
Dari Sifat 2: a + b + c + d = 24
Dari Sifat 3: a + b = c + d − 4

Langkah 2: Mencari Jumlah Kelompok Digit
Substitusi persamaan Sifat 3 ke Sifat 2:
(c + d − 4) + c + d = 24
2(c + d) = 28 → c + d = 14
Karena totalnya 24, maka: a + b = 10

Langkah 3: Menentukan Digit Awal (Sifat 1)
Karena N < 2025, digit ribuan (a) hanya bisa 1 atau 2.
• Jika a = 2, maka b = 8 (karena a + b = 10). Bilangan diawali 28.. (Gagal, karena melebihi 2025).
• Jika a = 1, maka b = 9. Bilangan diawali 19..
Bentuk bilangan saat ini adalah: 19cd.

Langkah 4: Kombinasi Digit Terakhir
Pasangan (c, d) yang jumlahnya 14 adalah:
(5, 9) → 1959
(6, 8) → 1968
(7, 7) → 1977
(8, 6) → 1986
(9, 5) → 1995

Langkah 5: Uji Faktorisasi Prima (Sifat 4)
Kita cari yang memiliki tepat 3 faktor prima berbeda, dengan jumlah < 100.
• 1959 = 3 × 653 (Hanya 2 faktor → Gagal)
• 1977 = 3 × 659 (Hanya 2 faktor → Gagal)
• 1986 = 2 × 3 × 331 (3 faktor, tapi jumlahnya 336 > 100 → Gagal)
• 1995 = 3 × 5 × 7 × 19 (Punya 4 faktor → Gagal)
• 1968 = 2⁴ × 3 × 41 (Punya tepat 3 faktor prima berbeda: 2, 3, dan 41).
Mari kita cek jumlahnya: 2 + 3 + 41 = 46 (Memenuhi syarat < 100!).