Konsep Statistika, Barisan Aritmatika dan Aljabar: Soal OSN Matematika SMP 2021

Soal 1:

Diketahui suatu data terdiri dari 9 bilangan asli yang diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Median dan rata-rata dari data tersebut adalah 10. Data kelima hingga data terbesar membentuk barisan aritmatika dengan beda sebesar data pertama. Data kedua hingga data ke empat adalah bilangan berurutan dengan jumlahnya sama dengan data terbesar. Hasil kali antara data ketiga dan data kedelapan adalah …

Soal seperti ini sangat bagus dan terstruktur untuk melatih penalaran logika matematis, khususnya sebagai bahan diskusi atau simulasi persiapan Olimpiade Sains Nasional (OSN) tingkat SMP, karena menggabungkan beberapa materi sekaligus ke dalam satu pemecahan masalah.

Berikut adalah uraian konsep dan langkah penyelesaiannya.

Pembahasan

💡

Konsep Utama yang Digunakan

• Statistika Dasar: Pemahaman Median (nilai tengah) dan Rata-rata (Mean).
• Barisan Aritmatika: Pemodelan suku-suku dengan selisih tetap ($U_n = a + (n-1)b$).
• Aljabar: Penyelesaian persamaan linear untuk mencari nilai variabel.

Misalkan 9 data bilangan asli terurut adalah:
$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9$

01

Analisis Median dan Rata-rata

Karena total data ada 9 (ganjil), median adalah data tepat di tengah, yaitu data ke-5.

$$x_5 = 10$$

Rata-rata adalah 10, maka jumlah total kesembilan data adalah:

$$\sum_{i=1}^{9} x_i = 9 \times 10 = 90$$

02

Pemodelan Barisan Aritmatika

Data $x_5$ hingga $x_9$ membentuk barisan aritmatika dengan beda sebesar $x_1$. Misalkan $x_1 = a$.

Maka model datanya:

• $x_5 = 10$
• $x_6 = 10 + a$
• $x_7 = 10 + 2a$
• $x_8 = 10 + 3a$
• $x_9 = 10 + 4a$

Jumlah data $x_5$ sampai $x_9$ adalah $50 + 10a$.

03

Pemodelan Bilangan Berurutan

Data $x_2, x_3, x_4$ adalah tiga bilangan berurutan. Misalkan nilainya: $b-1, b, b+1$. (Sehingga $x_3$ adalah $b$).

Jumlah ketiga data ini sama dengan data terbesar ($x_9$):

$$(b-1) + b + (b+1) = 10 + 4a$$ $$3b = 10 + 4a$$

04

Mencari Nilai Data Pertama ($a$)

Substitusikan semua model yang telah dibuat ke persamaan total jumlah data:

$$x_1 + (x_2 + x_3 + x_4) + (x_5 + \dots + x_9) = 90$$ $$a + (10 + 4a) + (50 + 10a) = 90$$ $$15a + 60 = 90$$ $$15a = 30 \implies a = 2$$

Jadi, nilai data pertama ($x_1$) adalah 2.

05

Menentukan Nilai $x_3$ dan $x_8$

Nilai $x_8$:
$x_8 = 10 + 3a = 10 + 3(2) = 16$

Nilai $x_3$:
Gunakan persamaan bilangan berurutan dengan $a = 2$:
$3b = 10 + 4(2) = 18 \implies b = 6$.
Karena $x_3 = b$, maka $x_3 = 6$.

🎉

Hasil Akhir

Hasil kali antara data ketiga dan data kedelapan adalah:

$$x_3 \times x_8 = 6 \times 16 = 96$$

Soal 2:

Diketahui suatu data terdiri dari 10 bilangan asli yang diurutkan dari terkecil hingga terbesar. Median dan rata-rata dari data tersebut masing-masing adalah 10 dan 12. Modus dari data tersebut adalah 10, sebanyak 3 data. Data keenam hingga data terbesar membentuk barisan aritmatika dengan beda sebesar data pertama. Data kedua hingga data keempat adalah bilangan berurutan yang lebih besar dari data pertama. Bila data keempat adalah bilangan modus, hasil kali antara data ketiga dan data kedelapan adalah ….

Pembahasan

📒

Poin Penting Soal:

• Jumlah data genap ($n=10$), median adalah rata-rata $x_5$ dan $x_6$.
• Modus 10 muncul sebanyak 3 kali.
• Data $x_6$ s.d $x_{10}$ adalah Barisan Aritmatika.

01

Identifikasi Nilai Tengah (Median & Modus)

Diketahui $n=10$, Median $= 10$ dan Modus $= 10$ (3 data). Karena $x_4$ adalah modus, maka:

$$x_4 = 10, \quad x_5 = 10, \quad x_6 = 10$$

Validasi Median: $\frac{x_5 + x_6}{2} = \frac{10 + 10}{2} = 10$ (Sesuai).

02

Pemodelan Barisan Aritmatika

Data $x_6$ s.d $x_{10}$ memiliki beda sebesar $x_1$ (misal $x_1 = a$):

• $x_6 = 10$
• $x_7 = 10 + a$
• $x_8 = 10 + 2a$
• $x_9 = 10 + 3a$
• $x_{10} = 10 + 4a$

Jumlah ($x_6 \dots x_{10}$) $= 50 + 10a$.

03

Analisis Bilangan Berurutan

$x_2, x_3, x_4$ adalah bilangan berurutan dengan $x_4 = 10$. Maka:

$$x_3 = 9, \quad x_2 = 8$$

Total data $x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 8 + 9 + 10 + 10 = 37$.

04

Mencari Nilai $a$ ($x_1$)

Rata-rata 10 data adalah 12, maka total jumlah data $= 120$.

$$x_1 + (x_2 \dots x_5) + (x_6 \dots x_{10}) = 120$$ $$a + 37 + (50 + 10a) = 120$$ $$11a + 87 = 120 \implies 11a = 33 \implies a = 3$$

★

Hasil Akhir

Data yang dicari:

• $x_3 = 9$
• $x_8 = 10 + 2(3) = 16$

Hasil Kali: $9 \times 16 = 144$