Belajar dan Berbagi

Ini adalah pertanyaan teori bilangan yang sangat menarik dan elegan! Pendekatan terbaik untuk menyelesaikan soal ini bukan dengan mencari satu per satu bilangan mana yang bisa, melainkan mencari bilangan mana yang tidak bisa (komplemennya), lalu mengurangkannya dari total bilangan.

Mari kita bedah konsep dan langkah penyelesaiannya.

Penyelesaian Soal Teori Bilangan

Soal: Banyaknya bilangan bulat positif yang kurang dari 101 dan bisa dinyatakan sebagai hasil penjumlahan setidaknya 4 bilangan bulat positif berurutan adalah...

1. Konsep Dasar

Misalkan N adalah bilangan yang merupakan hasil penjumlahan dari k bilangan bulat positif berurutan mulai dari a (di mana a ≥ 1). Kita bisa menulisnya sebagai deret aritmatika:

N = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+k-1)

Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, kita dapatkan:

2N = k(2a + k - 1)

Perhatikan dua faktor pembentuk 2N ini, yaitu k dan (2a + k - 1):

• Paritas Berbeda: Selisih antara kedua faktor tersebut adalah 2a - 1 (selalu ganjil), maka salah satu faktor pasti ganjil dan faktor lainnya pasti genap.
• Faktor Terkecil: Karena a ≥ 1, maka k selalu menjadi faktor yang lebih kecil.
• Syarat Soal: Meminta setidaknya 4 bilangan berurutan, berarti k ≥ 4.

Kesimpulan: Sebuah bilangan N bisa dinyatakan sebagai jumlah ≥ 4 bilangan berurutan jika 2N bisa difaktorkan menjadi pasangan ganjil-genap di mana faktor terkecilnya bernilai ≥ 4.

2. Strategi Penyelesaian (Mencari yang Gagal)

Kita akan mencari bilangan N ≤ 100 yang GAGAL memenuhi syarat (yaitu faktor terkecilnya selalu ≤ 3).

• Kelompok 1: Perpangkatan 2
  Bentuk: 2^p-1. Pasangan faktor beda paritas hanya 1. Karena 1 < 4, kelompok ini gagal.
  Bilangan: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 (Total: 7 bilangan)
• Kelompok 2: 3 × Perpangkatan 2
  Bentuk: 3 × 2^p-1. Faktor ganjilnya 1 dan 3. Keduanya < 4, kelompok ini gagal.
  Bilangan: 3, 6, 12, 24, 48, 96 (Total: 6 bilangan)
• Kelompok 3: Bilangan Prima Ganjil ≥ 5
  Faktor ganjil dari 2N adalah 1 dan N. Faktor terkecilnya antara 1 atau 2. Keduanya < 4, kelompok ini gagal.
  Bilangan prima ≤ 100 selain 2 dan 3 ada 23 bilangan. (Total: 23 bilangan)
• Kelompok 4: Pengecualian Bilangan Ganjil Komposit (Angka 9)
  Untuk N = 9, 2N = 18. Pasangan beda paritasnya (1,18), (9,2), (3,6). Faktor terkecilnya 1, 2, dan 3. Semuanya < 4, jadi 9 gagal.
  Bilangan: 9 (Total: 1 bilangan)

3. Perhitungan Akhir

Total bilangan yang gagal = 7 + 6 + 23 + 1 = 37 bilangan.

Banyaknya bilangan yang BISA dinyatakan = 100 - 37 = 63 bilangan.

4. Pembuktian dengan Contoh

Contoh 1: N = 30 (Bilangan Genap)

Kalikan dengan 2 → 2N = 60. Cari faktor beda paritas:

• 1 × 60 (Gagal, terkecil 1)
• 3 × 20 (Gagal, terkecil 3)
• 4 × 15 (Berhasil! Terkecil k = 4)
• 5 × 12 (Berhasil! Terkecil k = 5)

Deret untuk k=4: 2a + 4 - 1 = 15 → 2a = 12 → a = 6.
Deretnya: 6 + 7 + 8 + 9 = 30

Deret untuk k=5: 2a + 5 - 1 = 12 → 2a = 8 → a = 4.
Deretnya: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30

Contoh 2: N = 25 (Bilangan Ganjil)

Kalikan dengan 2 → 2N = 50. Cari faktor beda paritas:

• 1 × 50 (Gagal)
• 2 × 25 (Gagal)
• 5 × 10 (Berhasil! Terkecil k = 5)

Deret untuk k=5: 2a + 5 - 1 = 10 → 2a = 6 → a = 3.
Deretnya: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25