Bilangan Kaset: OSN Matematika SMP Tahun 2024

Soal ini sangat menarik karena menggabungkan konsep sifat bilangan prima, manipulasi aljabar melalui Persamaan Diophantine, dan diakhiri dengan kombinatorika dasar.

Berikut adalah pembahasan konsep dan langkah-langkah penyelesaiannya secara runut:

BILANGAN KASET

Analisis Soal Eksplorasi Matematika Tingkat OSN

"Bilangan kaset adalah bilangan bulat positif yang seluruh digitnya prima dan hasil perkalian seluruh digitnya sama dengan 10 kali hasil penjumlahan seluruh digitnya. Berapakah banyaknya bilangan kaset tersebut?"

Langkah 1: Identifikasi Digit Wajib

Misalkan bilangan tersebut memiliki digit-digit \(d_1, d_2, \dots, d_n\). Berdasarkan syarat soal:

\[ d_1 \times d_2 \times \dots \times d_n = 10(d_1 + d_2 + \dots + d_n) \]

Karena hasil perkaliannya adalah kelipatan 10, maka harus ada faktor 2 dan 5 di ruas kiri. Mengingat digit harus prima (\(2, 3, 5, 7\)), maka bilangan tersebut wajib memiliki digit 2 dan 5.

Langkah 2: Penyederhanaan Aljabar

Kita pisahkan digit 2 dan 5 yang sudah ditemukan. Misalkan sisa digit lainnya adalah \(y_1, y_2, \dots, y_k\). Persamaan menjadi:

\[ (2 \cdot 5) \cdot (y_1 \cdot y_2 \dots y_k) = 10(2 + 5 + y_1 + y_2 + \dots + y_k) \] \[ 10 \cdot (y_1 \dots y_k) = 10(7 + y_1 + \dots + y_k) \]

Bagi kedua ruas dengan 10, sehingga tersisa:

\[ y_1 \cdot y_2 \dots y_k = 7 + y_1 + \dots + y_k \]

Langkah 3: Mencari Digit Tambahan

Mari kita uji jumlah digit tambahan (\(k\)):

• Jika \(k=1\): \(y_1 = 7 + y_1\) (Tidak ada solusi).
• Jika \(k=2\): \(y_1 y_2 = 7 + y_1 + y_2\)

Gunakan pemfaktoran Simon:

\[ y_1 y_2 - y_1 - y_2 + 1 = 7 + 1 \] \[ (y_1 - 1)(y_2 - 1) = 8 \]

Faktor dari 8 yang jika ditambah 1 menghasilkan bilangan prima adalah \(2 \times 4\):

\((y_1 - 1) = 2 \Rightarrow y_1 = 3\) (Prima)
\((y_2 - 1) = 4 \Rightarrow y_2 = 5\) (Prima)

Jadi, kumpulan digit penyusunnya adalah: {2, 3, 5, 5}.

Langkah 4: Menghitung Permutasi

Karena kita memiliki 4 digit dengan angka 5 yang berulang sebanyak dua kali, maka banyaknya susunan bilangan adalah:

\[ P = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \]

Banyaknya Bilangan Kaset adalah:

12

Susunan: 2355, 2535, 2553, 3255, 3525, 3552, 5235, 5253, 5325, 5352, 5523, 5532.